Решение задачи: Определение осадки слоистой толщи грунтов

Задача 3. Равномерно распределенная полосообразная (ширина полосы \(b\)) нагрузка интенсивностью \(P\) приложена на глубине \(h\) от горизонтальной поверхности слоистой толщи грунтов. Определить по методу послойного суммирования с учетом только осевых сжимающих напряжений значение полной стабилизированной осадки грунтов. С поверхности залегает песчаный грунт (мощность \(h_1\), удельный вес грунта \(\gamma_1\), удельный вес твердых частиц \(\gamma_{s1}\), природная влажность \(W_1\), модуль общей деформации \(E_{01}\)), подстилаемый водонепроницаемой глиной (\(h_2\), \(\gamma_2\), \(E_{02}\)). Уровень грунтовых вод расположен в слое песчаного грунта на расстоянии \(d_w\). Исходные данные приведены в табл.3. Схема к расчету представлена на рис.3. Определить, для вышеуказанных грунтовых условий, затухание осадки во времени. Таблица 3 | Вариант | \(b\), м | \(d\), м | \(P\), МПа | \(h\), м | \(\gamma_1\), кН/м\(^3\) | \(\gamma_{s1}\), кН/м\(^3\) | \(W_1\), % | \(E_{01}\), МПа | \(h_2\), м | \(\gamma_2\), кН/м\(^3\) | \(E_{02}\), МПа | \(d_w\), м | |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | 3 | 2,8 | 1,4 | 0,36 | 3,6 | 20,5 | 26,5 | 11,8 | 15 | 7,5 | 19,2 | 38 | 1,1 | Решение: 1. Определение полной стабилизированной осадки грунтов. Для определения осадки по методу послойного суммирования необходимо разбить грунтовую толщу на слои. В данном случае у нас два слоя: песчаный грунт и глина. Исходные данные для варианта 3: Ширина полосы \(b = 2,8\) м Глубина заложения фундамента \(d = 1,4\) м Интенсивность нагрузки \(P = 0,36\) МПа = 360 кПа Глубина приложения нагрузки от поверхности \(h = 3,6\) м Мощность песчаного грунта \(h_1 = h = 3,6\) м Удельный вес песчаного грунта \(\gamma_1 = 20,5\) кН/м\(^3\) Удельный вес твердых частиц песчаного грунта \(\gamma_{s1} = 26,5\) кН/м\(^3\) Природная влажность песчаного грунта \(W_1 = 11,8\) % Модуль общей деформации песчаного грунта \(E_{01} = 15\) МПа = 15000 кПа Мощность глины \(h_2 = 7,5\) м Удельный вес глины \(\gamma_2 = 19,2\) кН/м\(^3\) Модуль общей деформации глины \(E_{02} = 38\) МПа = 38000 кПа Уровень грунтовых вод \(d_w = 1,1\) м от поверхности. Осадка грунта \(S\) определяется по формуле: \[S = \sum_{i=1}^{n} \frac{\sigma_{zi} \cdot h_i}{E_{0i}}\] где: \(\sigma_{zi}\) – среднее дополнительное вертикальное напряжение в \(i\)-м слое, кПа; \(h_i\) – толщина \(i\)-го слоя, м; \(E_{0i}\) – модуль общей деформации \(i\)-го слоя, кПа. Для определения \(\sigma_{zi}\) необходимо знать распределение напряжений от полосовой нагрузки. Дополнительные напряжения от полосовой нагрузки определяются по таблицам или графикам в зависимости от отношения \(z/b\) и \(x/b\). В данном случае, для определения осадки под центром полосы, \(x=0\). Разбиваем слои на элементарные слои. Для удобства расчета можно принять толщину элементарного слоя 0,4 \(b\) или 0,5 \(b\). Ширина полосы \(b = 2,8\) м. Толщина элементарного слоя \(h_{эл} = 0,4 \cdot b = 0,4 \cdot 2,8 = 1,12\) м. Или \(h_{эл} = 0,5 \cdot b = 0,5 \cdot 2,8 = 1,4\) м. Примем \(h_{эл} = 1,4\) м. Глубина сжимаемой толщи \(H_c\) определяется условием, что дополнительные напряжения \(\sigma_z\) составляют 0,2 от бытового давления \(\sigma_{zg}\). Бытовое давление на глубине \(z\): \(\sigma_{zg} = \gamma_1 \cdot z\) (для слоя песка выше УГВ) \(\sigma_{zg} = \gamma_1 \cdot d_w + \gamma'_{1} \cdot (z - d_w)\) (для слоя песка ниже УГВ) \(\gamma'_{1} = \gamma_1 - \gamma_w\), где \(\gamma_w = 10\) кН/м\(^3\) (удельный вес воды). \(\gamma'_{1} = 20,5 - 10 = 10,5\) кН/м\(^3\). Нагрузка приложена на глубине \(d = 1,4\) м. Мощность песчаного слоя \(h_1 = 3,6\) м. Мощность глиняного слоя \(h_2 = 7,5\) м. УГВ на глубине \(d_w = 1,1\) м. Расчет бытового давления: На глубине \(z = 1,1\) м (УГВ): \(\sigma_{zg} = 20,5 \cdot 1,1 = 22,55\) кПа. На глубине \(z = 3,6\) м (подошва песка): \(\sigma_{zg} = 20,5 \cdot 1,1 + 10,5 \cdot (3,6 - 1,1) = 22,55 + 10,5 \cdot 2,5 = 22,55 + 26,25 = 48,8\) кПа. На глубине \(z = 3,6 + 7,5 = 11,1\) м (подошва глины): \(\sigma_{zg} = 48,8 + 19,2 \cdot 7,5 = 48,8 + 144 = 192,8\) кПа. Для определения коэффициентов \(\alpha\) для полосовой нагрузки используем таблицы. Глубина от подошвы фундамента \(z'\). Нагрузка приложена на глубине \(d = 1,4\) м. Поверхность грунта находится на 0 м. Подошва фундамента находится на глубине \(d = 1,4\) м. Нагрузка \(P\) приложена на глубине \(h = 3,6\) м. Это означает, что фундамент находится на глубине \(d = 1,4\) м, а нагрузка \(P\) приложена на глубине \(h = 3,6\) м. Это противоречит рисунку, где нагрузка \(P\) приложена на глубине \(d\). По условию задачи: "нагрузка интенсивностью \(P\) приложена на глубине \(h\) от горизонтальной поверхности". По таблице: \(d\) - глубина заложения фундамента. Будем считать, что нагрузка \(P\) приложена на глубине \(d = 1,4\) м, а \(h\) - это мощность первого слоя. Тогда \(h_1 = h = 3,6\) м. Глубина заложения фундамента \(d = 1,4\) м. Это означает, что нагрузка \(P\) приложена на глубине \(d = 1,4\) м. Тогда \(h_1\) - это мощность первого слоя, а \(h\) в условии задачи - это мощность первого слоя. Давайте перепроверим данные. \(b = 2,8\) м. \(d = 1,4\) м (глубина заложения фундамента). \(P = 0,36\) МПа. \(h = 3,6\) м (мощность первого слоя, песчаного). \(h_2 = 7,5\) м (мощность второго слоя, глины). УГВ \(d_w = 1,1\) м. Расчет осадки под центром полосы. Разбиваем слои на элементарные слои. Слой 1 (песок): \(h_1 = 3,6\) м. Слой 2 (глина): \(h_2 = 7,5\) м. Общая толщина слоев \(H = 3,6 + 7,5 = 11,1\) м. Для расчета осадки послойным суммированием, необходимо определить дополнительные напряжения \(\sigma_z\) в середине каждого элементарного слоя. Глубина от подошвы фундамента \(z'\). Подошва фундамента находится на глубине \(d = 1,4\) м. Нагрузка \(P = 360\) кПа. Разбиваем слои на элементарные слои толщиной \(h_{эл}\). Примем \(h_{эл} = 0,4 \cdot b = 0,4 \cdot 2,8 = 1,12\) м. Или \(h_{эл} = 0,5 \cdot b = 0,5 \cdot 2,8 = 1,4\) м. Возьмем \(h_{эл} = 1,4\) м. Слой 1 (песок): \(h_1 = 3,6\) м. Разбиваем на 3 слоя: 1.1. От \(z' = 0\) до \(z' = 1,4\) м. Середина слоя \(z'_{ср} = 0,7\) м. 1.2. От \(z' = 1,4\) до \(z' = 2,8\) м. Середина слоя \(z'_{ср} = 2,1\) м. 1.3. От \(z' = 2,8\) до \(z' = 3,6\) м. Середина слоя \(z'_{ср} = 3,2\) м. (Толщина этого слоя \(3,6 - 2,8 = 0,8\) м). Слой 2 (глина): \(h_2 = 7,5\) м. Начинается от \(z' = 3,6\) м. 2.1. От \(z' = 3,6\) до \(z' = 5,0\) м. Середина слоя \(z'_{ср} = 4,3\) м. (Толщина \(1,4\) м). 2.2. От \(z' = 5,0\) до \(z' = 6,4\) м. Середина слоя \(z'_{ср} = 5,7\) м. (Толщина \(1,4\) м). 2.3. От \(z' = 6,4\) до \(z' = 7,8\) м. Середина слоя \(z'_{ср} = 7,1\) м. (Толщина \(1,4\) м). 2.4. От \(z' = 7,8\) до \(z' = 9,2\) м. Середина слоя \(z'_{ср} = 8,5\) м. (Толщина \(1,4\) м). 2.5. От \(z' = 9,2\) до \(z' = 11,1\) м. Середина слоя \(z'_{ср} = 10,15\) м. (Толщина \(11,1 - 9,2 = 1,9\) м). Расчет коэффициентов \(\alpha\) для полосовой нагрузки (под центром, \(x/b = 0\)): Отношение \(z'/b\). \(b = 2,8\) м. | Слой | \(z'_{ср}\), м | \(z'_{ср}/b\) | \(\alpha\) (по таблице) | \(\sigma_z = \alpha \cdot P\), кПа | \(h_i\), м | \(E_{0i}\), кПа | \(\Delta S_i = \frac{\sigma_z \cdot h_i}{E_{0i}}\), м | |---|---|---|---|---|---|---|---| | 1.1 (песок) | 0,7 | \(0,7/2,8 = 0,25\) | 0,95 | \(0,95 \cdot 360 = 342\) | 1,4 | 15000 | \(342 \cdot 1,4 / 15000 = 0,03192\) | | 1.2 (песок) | 2,1 | \(2,1/2,8 = 0,75\) | 0,65 | \(0,65 \cdot 360 = 234\) | 1,4 | 15000 | \(234 \cdot 1,4 / 15000 = 0,02184\) | | 1.3 (песок) | 3,2 | \(3,2/2,8 \approx 1,14\) | 0,48 | \(0,48 \cdot 360 = 172,8\) | 0,8 | 15000 | \(172,8 \cdot 0,8 / 15000 = 0,009216\) | | 2.1 (глина) | 4,3 | \(4,3/2,8 \approx 1,54\) | 0,35 | \(0,35 \cdot 360 = 126\) | 1,4 | 38000 | \(126 \cdot 1,4 / 38000 = 0,004642\) | | 2.2 (глина) | 5,7 | \(5,7/2,8 \approx 2,04\) | 0,25 | \(0,25 \cdot 360 = 90\) | 1,4 | 38000 | \(90 \cdot 1,4 / 38000 = 0,003316\) | | 2.3 (глина) | 7,1 | \(7,1/2,8 \approx 2,54\) | 0,19 | \(0,19 \cdot 360 = 68,4\) | 1,4 | 38000 | \(68,4 \cdot 1,4 / 38000 = 0,002519\) | | 2.4 (глина) | 8,5 | \(8,5/2,8 \approx 3,04\) | 0,15 | \(0,15 \cdot 360 = 54\) | 1,4 | 38000 | \(54 \cdot 1,4 / 38000 = 0,001989\) | | 2.5 (глина) | 10,15 | \(10,15/2,8 \approx 3,62\) | 0,12 | \(0,12 \cdot 360 = 43,2\) | 1,9 | 38000 | \(43,2 \cdot 1,9 / 38000 = 0,00216\) | Суммарная осадка \(S = \sum \Delta S_i\): \(S = 0,03192 + 0,02184 + 0,009216 + 0,004642 + 0,003316 + 0,002519 + 0,001989 + 0,00216 = 0,077602\) м. \(S \approx 7,76\) см. Проверим условие сжимаемой толщи. На глубине \(z'_{ср} = 10,15\) м (от подошвы фундамента), что соответствует глубине \(z = 1,4 + 10,15 = 11,55\) м от поверхности. Бытовое давление на этой глубине: \(\sigma_{zg} = 20,5 \cdot 1,1 + 10,5 \cdot (3,6 - 1,1) + 19,2 \cdot (11,55 - 3,6) = 22,55 + 26,25 + 19,2 \cdot 7,95 = 48,8 + 152,64 = 201,44\) кПа. Дополнительное напряжение \(\sigma_z = 43,2\) кПа. Отношение \(\sigma_z / \sigma_{zg} = 43,2 / 201,44 \approx 0,21\). Это близко к 0,2. Можно считать, что сжимаемая толща определена верно. Полная стабилизированная осадка грунтов \(S = 0,0776\) м или \(7,76\) см. 2. Определение затухания осадки во времени. Затухание осадки во времени (консолидация) определяется для глинистых грунтов. В данном случае, подстилающий слой - глина. Для определения затухания осадки необходимо рассчитать коэффициент консолидации \(C_v\). \[C_v = \frac{k \cdot E_{02}}{\gamma_w \cdot m_v}\] где: \(k\) – коэффициент фильтрации глины, м/сут; \(E_{02}\) – модуль общей деформации глины, кПа; \(\gamma_w\) – удельный вес воды, кН/м\(^3\); \(m_v\) – коэффициент сжимаемости, 1/кПа. Коэффициент сжимаемости \(m_v = 1/E_{02}\) (для случая, когда \(E_0\) - модуль общей деформации). \(m_v = 1 / 38000\) 1/кПа. Коэффициент фильтрации \(k\) для глины не задан. Обычно его принимают по справочным данным. Для глин \(k\) может варьироваться от \(10^{-7}\) до \(10^{-10}\) м/с. Переведем в м/сут: \(1\) м/с = \(86400\) м/сут. Пусть \(k = 10^{-9}\) м/с (типичное значение для суглинков и глин). \(k = 10^{-9} \cdot 86400 = 8,64 \cdot 10^{-5}\) м/сут. Тогда \(C_v = \frac{8,64 \cdot 10^{-5} \cdot 38000}{10 \cdot (1/38000)} = 8,64 \cdot 10^{-5} \cdot 38000 \cdot 3800 = 1247,328\) м\(^2\)/сут. Это очень большое значение для \(C_v\), что указывает на ошибку в формуле или исходных данных. Обычно \(C_v\) для глин составляет \(10^{-3}\) - \(10^{-4}\) м\(^2\)/сут. Вероятно, в формуле для \(C_v\) используется модуль деформации \(E_{oed}\) (модуль деформации при одноосном сжатии), а не \(E_0\). Если \(E_0\) - это модуль общей деформации, то \(m_v = 1/E_0\) не совсем корректно. Однако, если принять, что \(E_0\) используется для расчета осадки, то для консолидации часто используют \(E_{oed}\). Если \(E_0\) - это модуль деформации, то \(m_v = 1/E_0\) - это коэффициент сжимаемости. Давайте перепроверим формулу для \(C_v\). \[C_v = \frac{k \cdot E_{oed}}{\gamma_w}\] где \(E_{oed}\) - модуль деформации при одноосном сжатии. Если \(E_0\) - это модуль общей деформации, то \(E_{oed}\) может быть связан с \(E_0\) через коэффициент Пуассона \(\nu\). \(E_{oed} = E_0 \frac{(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)}\). Для глин \(\nu\) обычно принимают 0,3-0,4. Если \(\nu = 0,3\), то \(E_{oed} = 15000 \frac{(1-0,3)}{(1+0,3)(1-2 \cdot 0,3)} = 15000 \frac{0,7}{1,3 \cdot 0,4} = 15000 \frac{0,7}{0,52} \approx 20192\) кПа. Для глины \(E_{02} = 38000\) кПа. Если \(\nu = 0,3\), то \(E_{oed2} = 38000 \frac{0,7}{0,52} \approx 51154\) кПа. Если же \(m_v\) - это коэффициент сжимаемости, то \(m_v = \frac{1}{E_{oed}}\). Тогда \(C_v = \frac{k}{m_v \cdot \gamma_w}\). Если \(m_v = 1/E_{02}\), то \(C_v = \frac{k \cdot E_{02}}{\gamma_w}\). Это и есть формула, которую я использовал. Значит, либо \(k\) очень большой, либо \(E_{02}\) очень большой для такой формулы. Давайте предположим, что \(k\) для глины задан в м/год. Если \(k\) в м/сут, то \(C_v\) в м\(^2\)/сут. Если \(k\) в м/с, то \(C_v\) в м\(^2\)/с. Возможно, в задаче подразумевается, что \(E_0\) - это модуль деформации, а не модуль общей деформации. Если \(E_0\) - это модуль деформации, то \(m_v = 1/E_0\). Тогда \(C_v = \frac{k \cdot E_0}{\gamma_w}\). Давайте возьмем типичное значение \(C_v\) для глины, например, \(C_v = 10^{-3}\) м\(^2\)/сут. Или, если \(k\) не задан, то невозможно точно рассчитать \(C_v\). В учебных задачах часто дается \(C_v\) или \(k\). Если мы должны определить затухание осадки, то нам нужен коэффициент консолидации \(C_v\). Без значения \(k\) для глины, мы не можем его рассчитать. Предположим, что \(k\) для глины \(10^{-8}\) м/с. \(k = 10^{-8} \cdot 86400 = 8,64 \cdot 10^{-4}\) м/сут. Тогда \(C_v = \frac{8,64 \cdot 10^{-4} \cdot 38000}{10} = 3,2832\) м\(^2\)/сут. Это все еще очень большое значение. Возможно, в формуле \(C_v = \frac{k \cdot E_{02}}{\gamma_w}\) \(E_{02}\) должен быть в кПа, а \(k\) в м/сут. \(E_{02} = 38000\) кПа. \(\gamma_w = 10\) кН/м\(^3\). Если \(k\) для глины \(10^{-9}\) м/с, то \(k = 8,64 \cdot 10^{-5}\) м/сут. \(C_v = \frac{8,64 \cdot 10^{-5} \cdot 38000}{10} = 0,32832\) м\(^2\)/сут. Это значение все еще высоковато для глины. Давайте предположим, что \(C_v\) для глины задан или его нужно принять из справочника. Для глин \(C_v\) обычно находится в диапазоне \(10^{-4}\) - \(10^{-2}\) м\(^2\)/сут. Возьмем \(C_v = 0,001\) м\(^2\)/сут. Время консолидации \(t\) для заданной степени консолидации \(U\) определяется по формуле: \[t = \frac{T_v \cdot H_{dr}^2}{C_v}\] где: \(T_v\) – фактор времени, безразмерная величина, зависящая от степени консолидации \(U\); \(H_{dr}\) – максимальная длина дренажного пути, м. В данном случае, подстилающий слой - водонепроницаемая глина. Это означает, что дренаж происходит только вверх, к песчаному слою. Толщина глиняного слоя \(h_2 = 7,5\) м. Максимальная длина дренажного пути \(H_{dr} = h_2 = 7,5\) м. Фактор времени \(T_v\) для различных степеней консолидации \(U\): Для \(U \le 0,6\) (60%): \(T_v = \frac{\pi}{4} U^2\) Для \(U > 0,6\) (60%): \(T_v = 1,781 - 0,933 \log_{10}(100 - U\%)\) Рассчитаем время для 50% и 90% консолидации. Для \(U = 0,5\) (50%): \(T_v = \frac{\pi}{4} (0,5)^2 = \frac{\pi}{4} \cdot 0,25 = 0,196\). \(t_{50} = \frac{0,196 \cdot (7,5)^2}{C_v} = \frac{0,196 \cdot 56,25}{C_v} = \frac{11,025}{C_v}\). Для \(U = 0,9\) (90%): \(T_v = 1,781 - 0,933 \log_{10}(100 - 90) = 1,781 - 0,933 \log_{10}(10) = 1,781 - 0,933 \cdot 1 = 0,848\). \(t_{90} = \frac{0,848 \cdot (7,5)^2}{C_v} = \frac{0,848 \cdot 56,25}{C_v} = \frac{47,7}{C_v}\). Если принять \(C_v = 0,001\) м\(^2\)/сут: \(t_{50} = \frac{11,025}{0,001} = 11025\) суток \(\approx 30,2\) года. \(t_{90} = \frac{47,7}{0,001} = 47700\) суток \(\approx 130,7\) года. Если принять \(C_v = 0,01\) м\(^2\)/сут: \(t_{50} = \frac{11,025}{0,01} = 1102,5\) суток \(\approx 3\) года. \(t_{90} = \frac{47,7}{0,01} = 4770\) суток \(\approx 13\) лет. Без заданного коэффициента фильтрации \(k\) для глины или коэффициента консолидации \(C_v\), точное определение затухания осадки невозможно. В рамках школьной задачи, если эти параметры не даны, обычно предполагается, что их нужно принять из справочника или указать, что для расчета необходимы дополнительные данные. Предположим, что в задаче ожидается, что мы используем типичные значения. Для суглинков и глин \(C_v\) может быть в пределах \(10^{-4}\) - \(10^{-2}\) м\(^2\)/сут. Возьмем среднее значение \(C_v = 0,005\) м\(^2\)/сут. Тогда: \(t_{50} = \frac{11,025}{0,005} = 2205\) суток \(\approx 6,04\) года. \(t_{90} = \frac{47,7}{0,005} = 9540\) суток \(\approx 26,1\) года. Ответы: 1. Полная стабилизированная осадка грунтов \(S = 0,0776\) м или \(7,76\) см. 2. Затухание осадки во времени (консолидация) для глинистого слоя: Для расчета затухания осадки необходим коэффициент консолидации \(C_v\) для глины. Поскольку он не задан, примем его из справочных данных. Для глин \(C_v\) обычно находится в диапазоне \(10^{-4}\) - \(10^{-2}\) м\(^2\)/сут. Примем \(C_v = 0,005\) м\(^2\)/сут. Максимальная длина дренажного пути \(H_{dr} = h_2 = 7,5\) м (дренаж односторонний, вверх). Время достижения 50% консолидации \(t_{50} \approx 6,04\) года. Время достижения 90% консолидации \(t_{90} \approx 26,1\) года. Для школьника, переписывающего в тетрадь, важно указать, что значение \(C_v\) было принято из справочника, так как оно не было дано в условии задачи. Окончательный ответ: 1. Полная стабилизированная осадка грунтов \(S = 0,0776\) м (или \(7,76\) см). 2. Затухание осадки во времени: Для определения затухания осадки (консолидации) необходимо знать коэффициент консолидации \(C_v\) для глинистого слоя. Поскольку в исходных данных он не указан, примем его типичное значение для глин из справочника: \(C_v = 0,005\) м\(^2\)/сут. Длина дренажного пути \(H_{dr} = 7,5\) м (так как глина подстилается водонепроницаемым слоем, дренаж происходит только вверх). Время достижения 50% консолидации: \(t_{50} = 2205\) суток (приблизительно \(6,04\) года). Время достижения 90% консолидации: \(t_{90} = 9540\) суток (приблизительно \(26,1\) года).