1. Найдите значение выражения:
а) \(2\frac{3}{4} + 4\frac{1}{5}\)
Решение:
Чтобы сложить смешанные числа, сначала сложим целые части, а затем дробные части. Для сложения дробных частей приведем их к общему знаменателю.
\(2\frac{3}{4} + 4\frac{1}{5} = (2+4) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{5})\)
Общий знаменатель для 4 и 5 равен 20.
\(\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}\)
\(\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{4}{20}\)
Теперь сложим дробные части:
\(\frac{15}{20} + \frac{4}{20} = \frac{15+4}{20} = \frac{19}{20}\)
И сложим целые части:
\(2+4 = 6\)
Получаем:
\(6 + \frac{19}{20} = 6\frac{19}{20}\)
Ответ: \(6\frac{19}{20}\)
б) \(3\frac{1}{6} - 1\frac{3}{4}\)
Решение:
Чтобы вычесть смешанные числа, сначала вычтем целые части, а затем дробные части. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, нужно "занять" единицу у целой части.
\(3\frac{1}{6} - 1\frac{3}{4}\)
Приведем дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 6 и 4 равен 12.
\(\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}\)
\(\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}\)
Теперь выражение выглядит как \(3\frac{2}{12} - 1\frac{9}{12}\).
Так как \(\frac{2}{12} < \frac{9}{12}\), "займем" единицу у целой части 3. Единица это \(\frac{12}{12}\).
\(3\frac{2}{12} = 2 + 1 + \frac{2}{12} = 2 + \frac{12}{12} + \frac{2}{12} = 2\frac{14}{12}\)
Теперь вычитаем:
\(2\frac{14}{12} - 1\frac{9}{12} = (2-1) + (\frac{14}{12} - \frac{9}{12})\)
\(1 + \frac{14-9}{12} = 1 + \frac{5}{12} = 1\frac{5}{12}\)
Ответ: \(1\frac{5}{12}\)
в) \(7\frac{8}{15} + 1\frac{1}{12} - \frac{21}{20}\)
Решение:
Сначала выполним сложение, затем вычитание. Приведем все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 15, 12 и 20.
Разложим знаменатели на простые множители:
\(15 = 3 \cdot 5\)
\(12 = 2^2 \cdot 3\)
\(20 = 2^2 \cdot 5\)
Наименьшее общее кратное (НОК) будет \(2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60\).
Приведем дроби к знаменателю 60:
\(\frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{32}{60}\)
\(\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{5}{60}\)
\(\frac{21}{20} = \frac{21 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{63}{60}\)
Теперь подставим эти дроби в выражение:
\(7\frac{32}{60} + 1\frac{5}{60} - \frac{63}{60}\)
Сначала сложим:
\(7\frac{32}{60} + 1\frac{5}{60} = (7+1) + (\frac{32}{60} + \frac{5}{60}) = 8 + \frac{37}{60} = 8\frac{37}{60}\)
Теперь вычтем:
\(8\frac{37}{60} - \frac{63}{60}\)
Так как \(\frac{37}{60} < \frac{63}{60}\), "займем" единицу у целой части 8.
\(8\frac{37}{60} = 7 + 1 + \frac{37}{60} = 7 + \frac{60}{60} + \frac{37}{60} = 7\frac{97}{60}\)
Теперь вычитаем:
\(7\frac{97}{60} - \frac{63}{60} = 7 + (\frac{97}{60} - \frac{63}{60}) = 7 + \frac{97-63}{60} = 7 + \frac{34}{60}\)
Дробь \(\frac{34}{60}\) можно сократить на 2:
\(\frac{34}{60} = \frac{34 \div 2}{60 \div 2} = \frac{17}{30}\)
Получаем:
\(7\frac{17}{30}\)
Ответ: \(7\frac{17}{30}\)
г) \(1\frac{5}{12} + 7\frac{5}{6} + 0,75\)
Решение:
Переведем десятичную дробь 0,75 в обыкновенную дробь. \(0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}\).
Теперь выражение выглядит как \(1\frac{5}{12} + 7\frac{5}{6} + \frac{3}{4}\).
Приведем все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 12, 6 и 4 равен 12.
\(\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}\)
\(\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}\)
Теперь подставим эти дроби в выражение:
\(1\frac{5}{12} + 7\frac{10}{12} + \frac{9}{12}\)
Сложим целые части и дробные части отдельно:
\((1+7) + (\frac{5}{12} + \frac{10}{12} + \frac{9}{12})\)
\(8 + \frac{5+10+9}{12}\)
\(8 + \frac{24}{12}\)
Так как \(\frac{24}{12} = 2\), то:
\(8 + 2 = 10\)
Ответ: \(10\)
2. Решите уравнение:
а) \(14\frac{3}{4} - x = 10\frac{5}{6}\)
Решение:
Это уравнение вида \(a - x = b\), где \(x = a - b\).
\(x = 14\frac{3}{4} - 10\frac{5}{6}\)
Приведем дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 6 равен 12.
\(\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}\)
\(\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}\)
Теперь выражение выглядит как \(x = 14\frac{9}{12} - 10\frac{10}{12}\).
Так как \(\frac{9}{12} < \frac{10}{12}\), "займем" единицу у целой части 14.
\(14\frac{9}{12} = 13 + 1 + \frac{9}{12} = 13 + \frac{12}{12} + \frac{9}{12} = 13\frac{21}{12}\)
Теперь вычитаем:
\(x = 13\frac{21}{12} - 10\frac{10}{12} = (13-10) + (\frac{21}{12} - \frac{10}{12})\)
\(x = 3 + \frac{21-10}{12} = 3 + \frac{11}{12}\)
\(x = 3\frac{11}{12}\)
Ответ: \(x = 3\frac{11}{12}\)
б) \((x + \frac{1}{8}) - 2\frac{5}{6} = 1,3\)
Решение:
Сначала переведем десятичную дробь 1,3 в обыкновенную дробь. \(1,3 = 1\frac{3}{10}\).
Уравнение выглядит как \((x + \frac{1}{8}) - 2\frac{5}{6} = 1\frac{3}{10}\).
Чтобы найти \((x + \frac{1}{8})\), нужно к правой части прибавить \(2\frac{5}{6}\).
\(x + \frac{1}{8} = 1\frac{3}{10} + 2\frac{5}{6}\)
Приведем дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 10 и 6 равен 30.
\(\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}\)
\(\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30}\)
Теперь сложим:
\(x + \frac{1}{8} = 1\frac{9}{30} + 2\frac{25}{30}\)
\(x + \frac{1}{8} = (1+2) + (\frac{9}{30} + \frac{25}{30})\)
\(x + \frac{1}{8} = 3 + \frac{34}{30}\)
Выделим целую часть из \(\frac{34}{30}\): \(\frac{34}{30} = 1\frac{4}{30} = 1\frac{2}{15}\).
\(x + \frac{1}{8} = 3 + 1\frac{2}{15}\)
\(x + \frac{1}{8} = 4\frac{2}{15}\)
Теперь, чтобы найти \(x\), нужно из \(4\frac{2}{15}\) вычесть \(\frac{1}{8}\).
\(x = 4\frac{2}{15} - \frac{1}{8}\)
Приведем дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 15 и 8 равен 120.
\(\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 8}{15 \cdot 8} = \frac{16}{120}\)
\(\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 15}{8 \cdot 15} = \frac{15}{120}\)
Теперь вычитаем:
\(x = 4\frac{16}{120} - \frac{15}{120}\)
\(x = 4 + (\frac{16}{120} - \frac{15}{120})\)
\(x = 4 + \frac{1}{120}\)
\(x = 4\frac{1}{120}\)
Ответ: \(x = 4\frac{1}{120}\)
3. Токарь может выполнить заказ за 6 ч, а его ученик — за 10 ч. Какая часть заказа останется невыполненной после трёх часов совместной работы токаря и ученика?
Решение:
1. Найдем производительность токаря (какую часть заказа он выполняет за 1 час):
Токарь выполняет весь заказ за 6 часов, значит, за 1 час он выполняет \(\frac{1}{6}\) часть заказа.
2. Найдем производительность ученика (какую часть заказа он выполняет за 1 час):
Ученик выполняет весь заказ за 10 часов, значит, за 1 час он выполняет \(\frac{1}{10}\) часть заказа.
3. Найдем совместную производительность токаря и ученика (какую часть заказа они выполняют вместе за 1 час):
Совместная производительность = производительность токаря + производительность ученика
\(\frac{1}{6} + \frac{1}{10}\)
Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 6 и 10 равен 30.
\(\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}\)
\(\frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{3}{30}\)
Совместная производительность: \(\frac{5}{30} + \frac{3}{30} = \frac{5+3}{30} = \frac{8}{30}\)
Дробь \(\frac{8}{30}\) можно сокра