Задача:
Прямоугольник со сторонами 1 см и 3 см вращают вокруг большей стороны. Найдите площадь полной поверхности тела вращения. Результат поделите на \(\pi\).
Решение:
1. Определим, какое тело вращения образуется.
Когда прямоугольник вращается вокруг одной из своих сторон, образуется цилиндр. В данном случае, прямоугольник со сторонами 1 см и 3 см вращают вокруг большей стороны, то есть вокруг стороны длиной 3 см.
2. Определим параметры цилиндра.
- Высота цилиндра (h) будет равна длине стороны, вокруг которой происходит вращение. В нашем случае, \(h = 3\) см.
- Радиус основания цилиндра (r) будет равен длине другой стороны прямоугольника. В нашем случае, \(r = 1\) см.
3. Вспомним формулу для площади полной поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра (S) состоит из площади двух оснований и площади боковой поверхности. Формула выглядит так:
\[S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}\]
Где:
- \(S_{осн} = \pi r^2\) (площадь круга)
- \(S_{бок} = 2 \pi r h\) (площадь боковой поверхности)
Подставим эти выражения в формулу для S:
\[S = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h\]
Эту формулу можно упростить, вынеся \(2 \pi r\) за скобки:
\[S = 2 \pi r (r + h)\]
4. Подставим известные значения в формулу и вычислим площадь.
У нас \(r = 1\) см и \(h = 3\) см.
\[S = 2 \pi \cdot 1 \cdot (1 + 3)\]
\[S = 2 \pi \cdot 1 \cdot 4\]
\[S = 8 \pi\]
Таким образом, площадь полной поверхности тела вращения равна \(8 \pi\) квадратных сантиметров.
5. Выполним требование задачи: результат поделите на \(\pi\).
\[\frac{S}{\pi} = \frac{8 \pi}{\pi}\]
\[\frac{S}{\pi} = 8\]
Ответ: 8