Задача:
Найдите высоту цилиндра, если площадь его основания равна 5, а площадь боковой поверхности равна \(2\sqrt{5}\pi\).
Решение:
1. Обозначим известные величины:
- Площадь основания цилиндра \(S_{осн} = 5\).
- Площадь боковой поверхности цилиндра \(S_{бок} = 2\sqrt{5}\pi\).
- Высота цилиндра \(h\) (её нужно найти).
- Радиус основания цилиндра \(r\).
2. Вспомним формулу для площади основания цилиндра:
Площадь основания цилиндра - это площадь круга, которая вычисляется по формуле:
\[S_{осн} = \pi r^2\]3. Используем данную площадь основания, чтобы найти радиус \(r\):
Подставим известное значение \(S_{осн}\) в формулу:
\[5 = \pi r^2\]Выразим \(r^2\):
\[r^2 = \frac{5}{\pi}\]Найдем \(r\), извлекая квадратный корень:
\[r = \sqrt{\frac{5}{\pi}}\]4. Вспомним формулу для площади боковой поверхности цилиндра:
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
\[S_{бок} = 2\pi r h\]5. Используем данную площадь боковой поверхности и найденный радиус, чтобы найти высоту \(h\):
Подставим известные значения \(S_{бок}\) и \(r\) в формулу:
\[2\sqrt{5}\pi = 2\pi \left(\sqrt{\frac{5}{\pi}}\right) h\]6. Упростим уравнение и найдем \(h\):
Разделим обе части уравнения на \(2\pi\):
\[\sqrt{5} = \sqrt{\frac{5}{\pi}} h\]Чтобы найти \(h\), разделим \(\sqrt{5}\) на \(\sqrt{\frac{5}{\pi}}\):
\[h = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{\frac{5}{\pi}}}\]Перепишем это как:
\[h = \sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{5}{\pi}}}\] \[h = \sqrt{5} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{5}}\]Объединим под один корень:
\[h = \sqrt{5 \cdot \frac{\pi}{5}}\] \[h = \sqrt{\pi}\]Ответ:
Высота цилиндра равна \(\sqrt{\pi}\).