Вероятность вхождения в промежуток
Одним из ключевых свойств функции распределения является то, что вероятность того, что случайная величина попадёт в некоторый промежуток \([a, b]\), можно найти как разность значений функции распределения на концах этого промежутка.
Для случайной величины \(X\), вероятность того, что она примет значение в пределах от \(a\) до \(b\), вычисляется по следующей формуле:
\[P(a \le X \le b) = F(b) - F(a).\]Этот принцип работает как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, хотя в случае непрерывных величин он особенно важен, поскольку вероятность того, что случайная величина примет точное значение, равна нулю, и нас больше интересуют вероятности на интервалах.
Предположим, что функция распределения случайной величины \(X\) дана как \(F(x)\), и она описывает время ожидания автобуса, равномерно распределённое в интервале от 0 до 10 минут. Тогда вероятность того, что автобус приедет в промежутке от 2 до 5 минут, можно найти так:
\[P(2 \le X \le 5) = F(5) - F(2).\]Изучите текст и решите задачу.
Пусть функция распределения \(F(x)\) непрерывной случайной величины \(X\) имеет следующие значения: \(F(2) = 0,4\) и \(F(10) = 0,8\).
Чему равна вероятность того, что \(X\) примет значение в интервале от 2 до 10?
Решение:
Нам нужно найти вероятность того, что случайная величина \(X\) примет значение в интервале от 2 до 10. Согласно формуле, которая была дана в тексте, эта вероятность вычисляется как разность значений функции распределения на концах этого интервала.
В нашем случае, \(a = 2\) и \(b = 10\).
Известны значения функции распределения для этих точек:
- \(F(2) = 0,4\)
- \(F(10) = 0,8\)
Применим формулу:
\[P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)\] \[P(2 \le X \le 10) = F(10) - F(2)\]Подставим известные значения:
\[P(2 \le X \le 10) = 0,8 - 0,4\] \[P(2 \le X \le 10) = 0,4\]Ответ: Вероятность того, что \(X\) примет значение в интервале от 2 до 10, равна 0,4.