Решение задачи: Перевод из двоичной в десятичную систему

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Административная контрольная работа по информатике за I полугодие 2025-2026 учебного года Демо-версия Задание 1. Переведите из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления: А) \(11111_2\) = ? Б) \(1001_2\) = ? Решение: А) Чтобы перевести число из двоичной системы в десятичную, нужно умножить каждую цифру на 2 в степени, соответствующей её позиции (начиная с 0 справа налево). \(11111_2 = 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0\) \( = 1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1\) \( = 16 + 8 + 4 + 2 + 1\) \( = 31_{10}\) Ответ: \(11111_2 = 31_{10}\) Б) \(1001_2 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0\) \( = 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1\) \( = 8 + 0 + 0 + 1\) \( = 9_{10}\) Ответ: \(1001_2 = 9_{10}\) Задание 2. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления: \(200_{10}\) = ? \(49_{10}\) = ? Решение: Чтобы перевести число из десятичной системы в двоичную, нужно последовательно делить число на 2 и записывать остатки от деления в обратном порядке. Для \(200_{10}\): \(200 \div 2 = 100\) (остаток 0) \(100 \div 2 = 50\) (остаток 0) \(50 \div 2 = 25\) (остаток 0) \(25 \div 2 = 12\) (остаток 1) \(12 \div 2 = 6\) (остаток 0) \(6 \div 2 = 3\) (остаток 0) \(3 \div 2 = 1\) (остаток 1) \(1 \div 2 = 0\) (остаток 1) Записываем остатки снизу вверх: \(11001000_2\) Ответ: \(200_{10} = 11001000_2\) Для \(49_{10}\): \(49 \div 2 = 24\) (остаток 1) \(24 \div 2 = 12\) (остаток 0) \(12 \div 2 = 6\) (остаток 0) \(6 \div 2 = 3\) (остаток 0) \(3 \div 2 = 1\) (остаток 1) \(1 \div 2 = 0\) (остаток 1) Записываем остатки снизу вверх: \(110001_2\) Ответ: \(49_{10} = 110001_2\) Задание 3. Вычислите: \(1111_2 + 11_2\). Результат запишите в двоичной системе. Решение: Сложим числа в столбик в двоичной системе: \(1111_2\) + \(11_2\) ------- \(10010_2\) Пояснение сложения: 1 + 1 = 10 (0 пишем, 1 переносим) 1 + 1 (перенос) = 10 (0 пишем, 1 переносим) 1 + 0 (перенос) = 1 1 + 0 = 1 (ошибка в расчёте выше, пересчитаем) Правильное сложение: \(1111_2\) + \(0011_2\) (для удобства добавим нули перед \(11_2\)) ------- \(10010_2\) 1. \(1 + 1 = 10_2\). Пишем 0, переносим 1. 2. \(1 + 1 + 1\) (перенос) \( = 11_2\). Пишем 1, переносим 1. 3. \(1 + 0 + 1\) (перенос) \( = 10_2\). Пишем 0, переносим 1. 4. \(1 + 0 + 1\) (перенос) \( = 10_2\). Пишем 0, переносим 1. 5. \(0 + 0 + 1\) (перенос) \( = 1_2\). Пишем 1. Получается: \(1111_2\) + \(11_2\) ------- \(10010_2\) Ответ: \(1111_2 + 11_2 = 10010_2\) Задание 4. Соберите домики из элементов: впишите в элементы нужные числа. (На изображении представлены элементы логических операций и их описания. Нужно сопоставить описание с названием операции и символом.) Элементы: 1. Дизъюнкция 2. Конъюнкция 3. Инверсия 4. Истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него высказывания 5. Истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно входящее в него высказывание 6. Истинное высказывание делает ложным, ложное — истинным 7. И 8. НЕ 9. ИЛИ Решение: Сопоставим описания и символы с названиями операций: * Описание "Истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него высказывания" (4) соответствует Конъюнкции (2) и символу "И" (7). * Описание "Истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно входящее в него высказывание" (5) соответствует Дизъюнкции (1) и символу "ИЛИ" (9). * Описание "Истинное высказывание делает ложным, ложное — истинным" (6) соответствует Инверсии (3) и символу "НЕ" (8). Таким образом, заполняем домики: Домик 1 (Логическое сложение): Название: Дизъюнкция (1) Описание: Истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно входящее в него высказывание (5) Символ: ИЛИ (9) Домик 2 (Логическое умножение): Название: Конъюнкция (2) Описание: Истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него высказывания (4) Символ: И (7) Домик 3 (Логическое отрицание): Название: Инверсия (3) Описание: Истинное высказывание делает ложным, ложное — истинным (6) Символ: НЕ (8) Задание 5. Составьте таблицу истинности для выражения: \(A \lor B \land \neg A\). Решение: Сначала определим порядок выполнения операций: сначала отрицание (\(\neg\)), затем конъюнкция (\(\land\)), затем дизъюнкция (\(\lor\)). Выражение: \(A \lor (B \land (\neg A))\) Таблица истинности:

A	B	\(\neg A\)	\(B \land \neg A\)	\(A \lor (B \land \neg A)\)
0	0	1	\(0 \land 1 = 0\)	\(0 \lor 0 = 0\)
0	1	1	\(1 \land 1 = 1\)	\(0 \lor 1 = 1\)
1	0	0	\(0 \land 0 = 0\)	\(1 \lor 0 = 1\)
1	1	0	\(1 \land 0 = 0\)	\(1 \lor 0 = 1\)

Задание 6. Напишите наименьшее целое число \(x\), для которого истинно высказывание: \((X > 2)\) И \(\text{НЕ } (X > 13)\). Решение: Разберем высказывание: 1. \((X > 2)\) - это условие истинно для всех чисел, больших 2. 2. \(\text{НЕ } (X > 13)\) - это отрицание условия \((X > 13)\). Отрицание \((X > 13)\) означает, что \(X\) не больше 13, то есть \(X \le 13\). Теперь объединим оба условия с помощью логической операции "И": \((X > 2)\) И \((X \le 13)\) Это означает, что \(X\) должно быть больше 2 И одновременно меньше или равно 13. То есть, \(2 < X \le 13\). Нам нужно найти наименьшее целое число \(X\), которое удовлетворяет этому условию. Целые числа, которые больше 2: 3, 4, 5, ... Целые числа, которые меньше или равны 13: ..., 11, 12, 13. Наименьшее целое число, которое больше 2, это 3. Число 3 удовлетворяет условию \(3 \le 13\). Ответ: Наименьшее целое число \(x\), для которого истинно высказывание, равно 3. Задание 7. Определите значение сигнала на выходе логической схемы: (На изображении представлена логическая схема с элементами "И" (AND), "ИЛИ" (OR) и "НЕ" (NOT). Входы обозначены как 0 и 1.) Схема состоит из: 1. Верхняя ветка: - Вход 0 поступает на элемент "НЕ" (инвертор). Выход: \(\neg 0 = 1\). - Выход инвертора (1) поступает на следующий элемент "НЕ" (инвертор). Выход: \(\neg 1 = 0\). - Выход второго инвертора (0) поступает на вход элемента "И" (AND). 2. Нижняя ветка: - Вход 0 и вход 1 поступают на элемент "И" (AND). Выход: \(0 \land 1 = 0\). - Выход элемента "И" (0) поступает на вход элемента "И" (AND). 3. Конечный элемент: - Выход верхней ветки (0) и выход нижней ветки (0) поступают на конечный элемент "И" (AND). Решение: Проследим сигналы по схеме: Верхняя ветка: - Первый инвертор (НЕ): Вход 0. Выход: \(\neg 0 = 1\). - Второй инвертор (НЕ): Вход 1. Выход: \(\neg 1 = 0\). Значение сигнала на выходе верхней ветки перед последним элементом "И" равно 0. Нижняя ветка: - Элемент "И" (AND): Входы 0 и 1. Выход: \(0 \land 1 = 0\). Значение сигнала на выходе нижней ветки перед последним элементом "И" равно 0. Конечный элемент "И" (AND): - Входы: 0 (из верхней ветки) и 0 (из нижней ветки). - Выход: \(0 \land 0 = 0\). Ответ: Значение сигнала на выходе логической схемы равно 0.