Решение задачи из Варианта 2: вычисление cos α

Вот решения задач из "Варианта 2": 1) Вычислите \( \cos\alpha \), если \( \sin\alpha = 0,6 \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Решение: Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \). Подставим значение \( \sin\alpha \): \( (0,6)^2 + \cos^2\alpha = 1 \) \( 0,36 + \cos^2\alpha = 1 \) \( \cos^2\alpha = 1 - 0,36 \) \( \cos^2\alpha = 0,64 \) \( \cos\alpha = \pm\sqrt{0,64} \) \( \cos\alpha = \pm 0,8 \) По условию, \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Это вторая четверть, где косинус отрицательный. Значит, \( \cos\alpha = -0,8 \). Ответ: \( -0,8 \). 2) Найдите наименьшее значение выражения \( 5 + 2\cos x \). Решение: Мы знаем, что функция \( \cos x \) принимает значения в диапазоне от \( -1 \) до \( 1 \), то есть \( -1 \le \cos x \le 1 \). Чтобы найти наименьшее значение выражения \( 5 + 2\cos x \), нужно подставить наименьшее возможное значение \( \cos x \). Наименьшее значение \( \cos x \) равно \( -1 \). Подставим \( \cos x = -1 \) в выражение: \( 5 + 2 \cdot (-1) = 5 - 2 = 3 \). Ответ: \( 3 \). 3) Вычислите: \( \text{tg}\frac{\pi}{3} \cdot \text{ctg}\frac{\pi}{6} + 1 \). Решение: Сначала найдем значения \( \text{tg}\frac{\pi}{3} \) и \( \text{ctg}\frac{\pi}{6} \). \( \text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \) \( \text{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \) Теперь подставим эти значения в выражение: \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 1 = 3 + 1 = 4 \). Ответ: \( 4 \). 4) Найдите значение выражения \( 6\sin^2 x + 5 + 6\cos^2 x \). Решение: Перегруппируем слагаемые: \( 6\sin^2 x + 6\cos^2 x + 5 \) Вынесем общий множитель \( 6 \) из первых двух слагаемых: \( 6(\sin^2 x + \cos^2 x) + 5 \) Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Подставим это в выражение: \( 6(1) + 5 = 6 + 5 = 11 \). Ответ: \( 11 \). 5) Упростите выражение \( 2 - (\sin^2 x + \cos^2 x) + \text{ctg}^2 x \). Решение: Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Подставим это в выражение: \( 2 - (1) + \text{ctg}^2 x = 2 - 1 + \text{ctg}^2 x = 1 + \text{ctg}^2 x \) Также известно, что \( 1 + \text{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} \). Значит, выражение можно упростить до \( \frac{1}{\sin^2 x} \). Ответ: \( 1 + \text{ctg}^2 x \) или \( \frac{1}{\sin^2 x} \).