Решение: Возрастание и убывание функции y = 2x^2 - 3x + 1

Задача 12. Вводная Возрастание и убывание функции \(y = 2x^2 - 3x + 1\) Каков характер монотонности функции \(y = 2x^2 - 3x + 1\)? Решение: Функция \(y = 2x^2 - 3x + 1\) является квадратичной функцией, её графиком является парабола. Общий вид квадратичной функции: \(y = ax^2 + bx + c\). В нашем случае \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 1\). Поскольку коэффициент \(a = 2\) положителен (\(a > 0\)), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция сначала убывает до вершины параболы, а затем возрастает после вершины. Координата \(x\) вершины параболы находится по формуле: \[x_в = -\frac{b}{2a}\] Подставим значения \(a\) и \(b\): \[x_в = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = -\frac{-3}{4} = \frac{3}{4}\] Таким образом, вершина параболы находится при \(x = \frac{3}{4}\). Поскольку ветви параболы направлены вверх: * Функция убывает на интервале от \((-\infty; x_в]\). * Функция возрастает на интервале от \([x_в; +\infty)\). Подставим значение \(x_в = \frac{3}{4}\): * Функция убывает при \(x \in \left(-\infty; \frac{3}{4}\right]\). * Функция возрастает при \(x \in \left[\frac{3}{4}; +\infty\right)\). Сравним полученный результат с предложенными вариантами: 1. Возрастает при \(x \in \left(-\infty; -\frac{3}{4}\right]\) и убывает при \(x \in \left[-\frac{3}{4}; +\infty\right)\) — неверно. 2. Убывает при \(x \in \left(-\infty; \frac{3}{4}\right]\) и возрастает при \(x \in \left[\frac{3}{4}; +\infty\right)\) — верно. 3. Убывает при \(x \in \left(-\infty; -\frac{3}{4}\right]\) и возрастает при \(x \in \left[-\frac{3}{4}; +\infty\right)\) — неверно. 4. Возрастает при \(x \in \left(-\infty; \frac{3}{4}\right]\) и убывает при \(x \in \left[\frac{3}{4}; +\infty\right)\) — неверно. Ответ: Убывает при \(x \in \left(-\infty; \frac{3}{4}\right]\) и возрастает при \(x \in \left[\frac{3}{4}; +\infty\right)\).