Задача 12. Вводная
Возрастание и убывание функции \(y = 2x^2 - 3x + 1\)
Каков характер монотонности функции \(y = 2x^2 - 3x + 1\)?
Для определения интервалов возрастания и убывания функции, нам нужно найти её производную и определить знаки производной.
Шаг 1: Находим производную функции
Исходная функция: \(y = 2x^2 - 3x + 1\) Производная функции \(y'\) находится по правилам дифференцирования: \[y' = (2x^2 - 3x + 1)'\] \[y' = (2x^2)' - (3x)' + (1)'\] \[y' = 2 \cdot (2x^{2-1}) - 3 \cdot (x^{1-1}) + 0\] \[y' = 4x - 3\]Шаг 2: Находим критические точки
Критические точки - это точки, в которых производная равна нулю или не существует. В нашем случае производная \(y' = 4x - 3\) существует для всех \(x\). Приравниваем производную к нулю: \[4x - 3 = 0\] \[4x = 3\] \[x = \frac{3}{4}\] Эта точка \(x = \frac{3}{4}\) делит числовую ось на два интервала: \((-\infty; \frac{3}{4})\) и \((\frac{3}{4}; +\infty)\).Шаг 3: Определяем знак производной на каждом интервале
1. Интервал \((-\infty; \frac{3}{4})\) Возьмем любое число из этого интервала, например, \(x = 0\). Подставим его в производную: \[y'(0) = 4 \cdot 0 - 3 = -3\] Так как \(y'(0) = -3 < 0\), то на интервале \((-\infty; \frac{3}{4})\) функция убывает. 2. Интервал \((\frac{3}{4}; +\infty)\) Возьмем любое число из этого интервала, например, \(x = 1\). Подставим его в производную: \[y'(1) = 4 \cdot 1 - 3 = 4 - 3 = 1\] Так как \(y'(1) = 1 > 0\), то на интервале \((\frac{3}{4}; +\infty)\) функция возрастает.Шаг 4: Формулируем ответ
Функция убывает на интервале \((-\infty; \frac{3}{4}]\) и возрастает на интервале \([\frac{3}{4}; +\infty)\). Важно отметить, что в точке \(x = \frac{3}{4}\) функция достигает своего минимума, и эта точка включается в оба интервала монотонности.Сравнивая наш результат с предложенными вариантами, мы видим, что правильный вариант: Убывает при \(x \in (-\infty; \frac{3}{4}]\) и возрастает при \(x \in [\frac{3}{4}; +\infty)\).
Ответ: Убывает при \(x \in (-\infty; \frac{3}{4}]\) и возрастает при \(x \in [\frac{3}{4}; +\infty)\).