Область определения функции: y = √(x - 3) + √(3 - 2x - x²)

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. 1. Найти область определения функции: \(y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - 2x - x^2}\). Для того чтобы функция была определена, выражения под корнями должны быть неотрицательными. То есть, должны выполняться два условия: 1) \(x - 3 \ge 0\) 2) \(3 - 2x - x^2 \ge 0\) Решим первое неравенство: \(x - 3 \ge 0\) \(x \ge 3\) Решим второе неравенство: \(3 - 2x - x^2 \ge 0\) Умножим на \(-1\) и поменяем знак неравенства: \(x^2 + 2x - 3 \le 0\) Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 2x - 3 = 0\) с помощью дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\) \(\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4\) \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3\) \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1\) Так как парабола \(y = x^2 + 2x - 3\) ветвями направлена вверх, то \(x^2 + 2x - 3 \le 0\) при \(x \in [-3; 1]\). Теперь нам нужно найти пересечение решений обоих неравенств: \(x \ge 3\) \(x \in [-3; 1]\) На числовой прямой видно, что у этих двух промежутков нет общих точек. \[ \begin{array}{ccccccc} \text{Решение 1:} & \quad & \quad & \quad & \quad & [3; +\infty) \\ \text{Решение 2:} & [-3; 1] & \quad & \quad & \quad & \quad \\ \end{array} \] Пересечение этих промежутков пустое множество. Ответ: Область определения функции - пустое множество, то есть функция не определена ни при каких значениях \(x\). 2. Изобразить эскиз графика функции \(y = (x + 1)^5 - 2\) и перечислить ее основные свойства. Эскиз графика: График функции \(y = (x + 1)^5 - 2\) получается из графика функции \(y = x^5\) путем следующих преобразований: 1. Сдвиг влево на 1 единицу (из-за \(x + 1\)). 2. Сдвиг вниз на 2 единицы (из-за \(-2\)). Точка \((0, 0)\) для \(y = x^5\) переходит в точку \((-1, -2)\) для \(y = (x + 1)^5 - 2\). График \(y = x^5\) является возрастающей функцией, проходящей через начало координат, симметричной относительно начала координат. (Здесь должен быть рисунок графика. Представьте себе график \(y = x^3\), но более "плоский" вблизи нуля и более "крутой" на краях. Затем сдвиньте его так, чтобы "центр" графика оказался в точке \((-1, -2)\)). Основные свойства функции \(y = (x + 1)^5 - 2\): 1. Область определения: \(D(y) = (-\infty; +\infty)\) (все действительные числа). 2. Область значений: \(E(y) = (-\infty; +\infty)\) (все действительные числа). 3. Нули функции: \( (x + 1)^5 - 2 = 0 \) \( (x + 1)^5 = 2 \) \( x + 1 = \sqrt[5]{2} \) \( x = \sqrt[5]{2} - 1 \) Функция имеет один ноль. 4. Четность/Нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее график не симметричен ни относительно оси \(Oy\), ни относительно начала координат. Например, \(y(-x) = (-x+1)^5 - 2\), что не равно \(y(x)\) и не равно \(-y(x)\). 5. Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей области определения. (Производная \(y' = 5(x+1)^4\). Так как \( (x+1)^4 \ge 0 \), то \(y' \ge 0\). \(y' = 0\) только в точке \(x = -1\), что не нарушает строгой монотонности). 6. Экстремумы: Экстремумов нет. 7. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения. 3. Решить уравнение: 1) \(\sqrt{x} + \sqrt{x - 1} = -3\) Область допустимых значений (ОДЗ): \(x \ge 0\) \(x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\) Следовательно, ОДЗ: \(x \ge 1\). Левая часть уравнения \(\sqrt{x} + \sqrt{x - 1}\) представляет собой сумму двух неотрицательных чисел. \(\sqrt{x} \ge 0\) \(\sqrt{x - 1} \ge 0\) Значит, \(\sqrt{x} + \sqrt{x - 1} \ge 0\). Правая часть уравнения равна \(-3\). Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному числу, данное уравнение не имеет решений. Ответ: Уравнение не имеет решений. 2) \(\sqrt[3]{4 + \sqrt{x^2 + 7}} = 2\) Возведем обе части уравнения в куб: \( (\sqrt[3]{4 + \sqrt{x^2 + 7}})^3 = 2^3 \) \( 4 + \sqrt{x^2 + 7} = 8 \) Вычтем 4 из обеих частей: \( \sqrt{x^2 + 7} = 8 - 4 \) \( \sqrt{x^2 + 7} = 4 \) Возведем обе части в квадрат: \( (\sqrt{x^2 + 7})^2 = 4^2 \) \( x^2 + 7 = 16 \) Вычтем 7 из обеих частей: \( x^2 = 16 - 7 \) \( x^2 = 9 \) Извлечем квадратный корень: \( x = \pm \sqrt{9} \) \( x_1 = 3 \) \( x_2 = -3 \) Проверим полученные корни. Для \(x = 3\): \(\sqrt[3]{4 + \sqrt{3^2 + 7}} = \sqrt[3]{4 + \sqrt{9 + 7}} = \sqrt[3]{4 + \sqrt{16}} = \sqrt[3]{4 + 4} = \sqrt[3]{8} = 2\). Верно. Для \(x = -3\): \(\sqrt[3]{4 + \sqrt{(-3)^2 + 7}} = \sqrt[3]{4 + \sqrt{9 + 7}} = \sqrt[3]{4 + \sqrt{16}} = \sqrt[3]{4 + 4} = \sqrt[3]{8} = 2\). Верно. Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). 3) \(x - 3 = \sqrt{5 - x}\) Область допустимых значений (ОДЗ): 1) \(5 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 5\) 2) Правая часть \(\sqrt{5 - x}\) всегда неотрицательна, значит, левая часть \(x - 3\) также должна быть неотрицательной: \(x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3\) Таким образом, ОДЗ: \(3 \le x \le 5\). Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (x - 3)^2 = (\sqrt{5 - x})^2 \) \( x^2 - 6x + 9 = 5 - x \) Перенесем все члены в левую часть: \( x^2 - 6x + x + 9 - 5 = 0 \) \( x^2 - 5x + 4 = 0 \) Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\) \(\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3\) \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1\) \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4\) Проверим, принадлежат ли полученные корни ОДЗ \(3 \le x \le 5\). Для \(x_1 = 1\): \(1\) не принадлежит промежутку \([3; 5]\). Этот корень не подходит. Для \(x_2 = 4\): \(4\) принадлежит промежутку \([3; 5]\). Этот корень подходит. Проверим \(x = 4\) в исходном уравнении: \(4 - 3 = \sqrt{5 - 4}\) \(1 = \sqrt{1}\) \(1 = 1\). Верно. Ответ: \(x = 4\). 4) \(\sqrt{3x^2 + 5x + 1} + \sqrt{3x^2 + 5x + 8} = 7\) Пусть \(t = 3x^2 + 5x + 1\). Тогда \(3x^2 + 5x + 8 = (3x^2 + 5x + 1) + 7 = t + 7\). Уравнение примет вид: \(\sqrt{t} + \sqrt{t + 7} = 7\) Область допустимых значений для \(t\): \(t \ge 0\) \(t + 7 \ge 0 \Rightarrow t \ge -7\) Следовательно, \(t \ge 0\). Перенесем \(\sqrt{t}\) в правую часть: \(\sqrt{t + 7} = 7 - \sqrt{t}\) Для того чтобы возвести обе части в квадрат, правая часть должна быть неотрицательной: \(7 - \sqrt{t} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{t} \le 7 \Rightarrow t \le 49\). Итак, для \(t\) имеем \(0 \le t \le 49\). Возведем обе части в квадрат: \( (\sqrt{t + 7})^2 = (7 - \sqrt{t})^2 \) \( t + 7 = 49 - 14\sqrt{t} + t \) Вычтем \(t\) из обеих частей: \( 7 = 49 - 14\sqrt{t} \) Перенесем \(14\sqrt{t}\) влево, а 7 вправо: \( 14\sqrt{t} = 49 - 7 \) \( 14\sqrt{t} = 42 \) Разделим обе части на 14: \( \sqrt{t} = \frac{42}{14} \) \( \sqrt{t} = 3 \) Возведем обе части в квадрат: \( (\sqrt{t})^2 = 3^2 \) \( t = 9 \) Проверим, удовлетворяет ли \(t = 9\) условию \(0 \le t \le 49\). Да, удовлетворяет. Теперь вернемся к переменной \(x\): \(3x^2 + 5x + 1 = 9\) \(3x^2 + 5x + 1 - 9 = 0\) \(3x^2 + 5x - 8 = 0\) Решим квадратное уравнение: \(D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121\) \(\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11\) \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}\) \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1\) Проверим эти корни в исходном уравнении. Для \(x = 1\): \(\sqrt{3(1)^2 + 5(1) + 1} + \sqrt{3(1)^2 + 5(1) + 8} = \sqrt{3 + 5 + 1} + \sqrt{3 + 5 + 8} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\). Верно. Для \(x = -\frac{8}{3}\): \(3(-\frac{8}{3})^2 + 5(-\frac{8}{3}) + 1 = 3 \cdot \frac{64}{9} - \frac{40}{3} + 1 = \frac{64}{3} - \frac{40}{3} + \frac{3}{3} = \frac{24 + 3}{3} = \frac{27}{3} = 9\). Тогда \(\sqrt{9} + \sqrt{9 + 7} = 3 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\). Верно. Ответ: \(x_1 = -\frac{8}{3}\), \(x_2 = 1\). 5) \(x^2 - 5x + 16 - 3\sqrt{x^2 - 5x + 20} = 0\) Пусть \(t = x^2 - 5x + 20\). Тогда \(x^2 - 5x + 16 = (x^2 - 5x + 20) - 4 = t - 4\). Уравнение примет вид: \(t - 4 - 3\sqrt{t} = 0\) \(t - 3\sqrt{t} - 4 = 0\) Область допустимых значений для \(t\): \(t \ge 0\). Пусть \(u = \sqrt{t}\). Тогда \(u \ge 0\). Уравнение примет вид: \(u^2 - 3u - 4 = 0\) Решим квадратное уравнение относительно \(u\): \(D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\) \(\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5\) \(u_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1\) \(u_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4\) Так как \(u = \sqrt{t}\) и \(u \ge 0\), то \(u_1 = -1\) не подходит. Значит, \(u = 4\). Вернемся к переменной \(t\): \(\sqrt{t} = 4\) Возведем обе части в квадрат: \(t = 16\) Теперь вернемся к переменной \(x\): \(x^2 - 5x + 20 = 16\) \(x^2 - 5x + 20 - 16 = 0\) \(x^2 - 5x + 4 = 0\)