Решение задачи про велосипедистов: найти скорость первого

Давайте решим эту задачу.

Условие задачи:

Из пункта \(B\) в пункт \(C\) выехал велосипедист (назовем его Первый). Одновременно с ним выехал другой велосипедист (назовем его Второй). Первый велосипедист ехал с постоянной скоростью. Второй велосипедист: * Первую половину пути ехал со скоростью на 6 км/ч большей, чем Первый. * Вторую половину пути он проехал со скоростью 20 км/ч. Оба велосипедиста прибыли в пункт \(C\) одновременно. Нужно найти скорость (в км/ч) первого велосипедиста.

Решение:

Шаг 1: Обозначим переменные.

Пусть \(S\) - общее расстояние от пункта \(B\) до пункта \(C\). Пусть \(V_1\) - скорость первого велосипедиста (это то, что нам нужно найти). Тогда время, которое потратил первый велосипедист: \(t_1 = \frac{S}{V_1}\).

Шаг 2: Опишем движение второго велосипедиста.

Второй велосипедист проехал две половины пути, каждая длиной \(\frac{S}{2}\). * На первой половине пути (\(\frac{S}{2}\)): Скорость второго велосипедиста: \(V_{2,1} = V_1 + 6\) км/ч. Время на первой половине пути: \(t_{2,1} = \frac{S/2}{V_1 + 6}\). * На второй половине пути (\(\frac{S}{2}\)): Скорость второго велосипедиста: \(V_{2,2} = 20\) км/ч. Время на второй половине пути: \(t_{2,2} = \frac{S/2}{20}\). Общее время, которое потратил второй велосипедист: \(t_2 = t_{2,1} + t_{2,2}\). \[t_2 = \frac{S}{2(V_1 + 6)} + \frac{S}{2 \times 20}\] \[t_2 = \frac{S}{2(V_1 + 6)} + \frac{S}{40}\]

Шаг 3: Приравняем время движения, так как они прибыли одновременно.

\[t_1 = t_2\] \[\frac{S}{V_1} = \frac{S}{2(V_1 + 6)} + \frac{S}{40}\] Мы можем разделить обе части уравнения на \(S\) (поскольку \(S \neq 0\)): \[\frac{1}{V_1} = \frac{1}{2(V_1 + 6)} + \frac{1}{40}\]

Шаг 4: Решим уравнение относительно \(V_1\).

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \(40V_1(V_1 + 6)\). Умножим все члены уравнения на \(40V_1(V_1 + 6)\): \[40(V_1 + 6) = 20V_1 + V_1(V_1 + 6)\] Раскроем скобки: \[40V_1 + 240 = 20V_1 + V_1^2 + 6V_1\] Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[0 = V_1^2 + 20V_1 + 6V_1 - 40V_1 - 240\] \[0 = V_1^2 + (20 + 6 - 40)V_1 - 240\] \[0 = V_1^2 - 14V_1 - 240\] Решим квадратное уравнение \(V_1^2 - 14V_1 - 240 = 0\) с помощью дискриминанта. \[D = b^2 - 4ac\] Здесь \(a=1\), \(b=-14\), \(c=-240\). \[D = (-14)^2 - 4 \times 1 \times (-240)\] \[D = 196 + 960\] \[D = 1156\] Найдем корни \(V_1\): \[V_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[V_1 = \frac{-(-14) \pm \sqrt{1156}}{2 \times 1}\] \[V_1 = \frac{14 \pm 34}{2}\] Два возможных значения для \(V_1\): \[V_{1,1} = \frac{14 + 34}{2} = \frac{48}{2} = 24\] \[V_{1,2} = \frac{14 - 34}{2} = \frac{-20}{2} = -10\] Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(V_1 = 24\) км/ч.

Ответ для записи в тетрадь:

1. Пусть \(S\) - расстояние от \(B\) до \(C\). 2. Пусть \(V_1\) - скорость первого велосипедиста (км/ч). 3. Время первого велосипедиста: \(t_1 = \frac{S}{V_1}\). 4. Движение второго велосипедиста: * Первая половина пути (\(\frac{S}{2}\)) со скоростью \(V_1 + 6\) км/ч. Время: \(t_{2,1} = \frac{S/2}{V_1 + 6}\). * Вторая половина пути (\(\frac{S}{2}\)) со скоростью 20 км/ч. Время: \(t_{2,2} = \frac{S/2}{20}\). 5. Общее время второго велосипедиста: \(t_2 = \frac{S}{2(V_1 + 6)} + \frac{S}{40}\). 6. Так как они прибыли одновременно, \(t_1 = t_2\): \[\frac{S}{V_1} = \frac{S}{2(V_1 + 6)} + \frac{S}{40}\] 7. Разделим обе части на \(S\): \[\frac{1}{V_1} = \frac{1}{2(V_1 + 6)} + \frac{1}{40}\] 8. Умножим на общий знаменатель \(40V_1(V_1 + 6)\): \[40(V_1 + 6) = 20V_1 + V_1(V_1 + 6)\] \[40V_1 + 240 = 20V_1 + V_1^2 + 6V_1\] 9. Приведем к квадратному уравнению: \[V_1^2 + (20 + 6 - 40)V_1 - 240 = 0\] \[V_1^2 - 14V_1 - 240 = 0\] 10. Решим квадратное уравнение: Дискриминант \(D = (-14)^2 - 4 \times 1 \times (-240) = 196 + 960 = 1156\). \[V_1 = \frac{14 \pm \sqrt{1156}}{2} = \frac{14 \pm 34}{2}\] Возможные значения: \(V_{1,1} = \frac{14 + 34}{2} = 24\) и \(V_{1,2} = \frac{14 - 34}{2} = -10\). 11. Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(V_1 = 24\) км/ч. Ответ: Скорость первого велосипедиста составляет 24 км/ч.