Решение задачи про лодку и плот: определение скорости лодки

Давайте решим эту задачу.

Условие задачи:

Расстояние между пристанями \(A\) и \(B\) равно 140 км. Из \(A\) в \(B\) по течению реки отправился плот. Через час вслед за плотом отправилась моторная лодка. Моторная лодка, прибыв в пункт \(B\), тотчас повернула обратно и возвратилась в \(A\). К этому времени плот проплыл 51 км. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Нужно найти скорость лодки в неподвижной воде.

Решение:

Шаг 1: Определим время движения плота.

Плот движется только со скоростью течения реки. Скорость течения реки \(V_{теч} = 3\) км/ч. Плот проплыл 51 км. Время движения плота \(t_{плот} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость}}\). \[t_{плот} = \frac{51 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = 17 \text{ часов}\] Это общее время, которое прошло с момента отправления плота до момента возвращения лодки в пункт \(A\).

Шаг 2: Определим время движения лодки.

Лодка отправилась через 1 час после плота. Значит, лодка была в пути на 1 час меньше, чем плот. Время движения лодки \(t_{лодка} = t_{плот} - 1 \text{ час}\). \[t_{лодка} = 17 \text{ часов} - 1 \text{ час} = 16 \text{ часов}\]

Шаг 3: Обозначим скорость лодки в неподвижной воде и составим уравнение.

Пусть \(V_л\) - скорость лодки в неподвижной воде (км/ч). Скорость течения реки \(V_{теч} = 3\) км/ч. Расстояние между пристанями \(S = 140\) км. * Скорость лодки по течению: \(V_{по} = V_л + V_{теч} = V_л + 3\). * Скорость лодки против течения: \(V_{против} = V_л - V_{теч} = V_л - 3\). Время, которое лодка плыла из \(A\) в \(B\) (по течению): \(t_{AB} = \frac{S}{V_л + 3} = \frac{140}{V_л + 3}\). Время, которое лодка плыла из \(B\) в \(A\) (против течения): \(t_{BA} = \frac{S}{V_л - 3} = \frac{140}{V_л - 3}\). Общее время движения лодки \(t_{лодка} = t_{AB} + t_{BA}\). \[16 = \frac{140}{V_л + 3} + \frac{140}{V_л - 3}\]

Шаг 4: Решим уравнение относительно \(V_л\).

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \((V_л + 3)(V_л - 3)\): \[16(V_л + 3)(V_л - 3) = 140(V_л - 3) + 140(V_л + 3)\] Используем формулу разности квадратов \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\): \[16(V_л^2 - 3^2) = 140V_л - 140 \times 3 + 140V_л + 140 \times 3\] \[16(V_л^2 - 9) = 140V_л - 420 + 140V_л + 420\] \[16V_л^2 - 16 \times 9 = 280V_л\] \[16V_л^2 - 144 = 280V_л\] Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[16V_л^2 - 280V_л - 144 = 0\] Разделим все члены уравнения на 8 для упрощения: \[2V_л^2 - 35V_л - 18 = 0\] Решим квадратное уравнение \(2V_л^2 - 35V_л - 18 = 0\) с помощью дискриминанта. \[D = b^2 - 4ac\] Здесь \(a=2\), \(b=-35\), \(c=-18\). \[D = (-35)^2 - 4 \times 2 \times (-18)\] \[D = 1225 + 144\] \[D = 1369\] Найдем корни \(V_л\): \[V_л = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[V_л = \frac{-(-35) \pm \sqrt{1369}}{2 \times 2}\] \[V_л = \frac{35 \pm 37}{4}\] Два возможных значения для \(V_л\): \[V_{л,1} = \frac{35 + 37}{4} = \frac{72}{4} = 18\] \[V_{л,2} = \frac{35 - 37}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5\] Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(V_л = 18\) км/ч. Также, скорость лодки в неподвижной воде должна быть больше скорости течения, чтобы лодка могла плыть против течения. \(18 > 3\), что соответствует условию.

Ответ для записи в тетрадь:

1. Скорость течения реки: \(V_{теч} = 3\) км/ч. 2. Расстояние, которое проплыл плот: 51 км. 3. Время движения плота (и, соответственно, общее время с момента отправления плота до возвращения лодки): \(t_{плот} = \frac{51 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = 17\) часов. 4. Лодка отправилась на 1 час позже плота, поэтому время движения лодки: \(t_{лодка} = 17 - 1 = 16\) часов. 5. Пусть \(V_л\) - скорость лодки в неподвижной воде. Скорость лодки по течению: \(V_л + 3\). Скорость лодки против течения: \(V_л - 3\). 6. Расстояние между пристанями: \(S = 140\) км. 7. Составим уравнение для общего времени движения лодки: \[\frac{140}{V_л + 3} + \frac{140}{V_л - 3} = 16\] 8. Умножим на \((V_л + 3)(V_л - 3)\): \[140(V_л - 3) + 140(V_л + 3) = 16(V_л^2 - 9)\] \[140V_л - 420 + 140V_л + 420 = 16V_л^2 - 144\] \[280V_л = 16V_л^2 - 144\] 9. Приведем к квадратному уравнению: \[16V_л^2 - 280V_л - 144 = 0\] Разделим на 8: \[2V_л^2 - 35V_л - 18 = 0\] 10. Решим квадратное уравнение: Дискриминант \(D = (-35)^2 - 4 \times 2 \times (-18) = 1225 + 144 = 1369\). \(\sqrt{D} = 37\). \[V_л = \frac{35 \pm 37}{4}\] \[V_{л,1} = \frac{35 + 37}{4} = \frac{72}{4} = 18\] \[V_{л,2} = \frac{35 - 37}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5\] 11. Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(V_л = 18\) км/ч. Ответ: Скорость лодки в неподвижной воде составляет 18 км/ч.