Решение уравнения x³ - 3x² = 3x - 1

Давайте решим это уравнение.

Условие задачи:

Решите уравнение: \(x^3 - 3x^2 = 3x - 1\). В ответ укажите сумму корней уравнения.

Решение:

Шаг 1: Приведем уравнение к стандартному виду кубического уравнения.

Стандартный вид кубического уравнения: \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\). Перенесем все члены из правой части в левую: \[x^3 - 3x^2 - 3x + 1 = 0\]

Шаг 2: Используем теорему Виета для кубического уравнения.

Для кубического уравнения \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\), сумма корней \(x_1 + x_2 + x_3\) выражается формулой: \[x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}\] В нашем уравнении \(x^3 - 3x^2 - 3x + 1 = 0\): * Коэффициент \(a = 1\) (коэффициент при \(x^3\)). * Коэффициент \(b = -3\) (коэффициент при \(x^2\)). * Коэффициент \(c = -3\) (коэффициент при \(x\)). * Коэффициент \(d = 1\) (свободный член).

Шаг 3: Вычислим сумму корней.

Используя формулу: \[x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{1}\] \[x_1 + x_2 + x_3 = 3\] Таким образом, сумма корней уравнения равна 3. Нет необходимости находить сами корни, достаточно применить теорему Виета.

Ответ для записи в тетрадь:

1. Запишем исходное уравнение: \(x^3 - 3x^2 = 3x - 1\). 2. Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\): \(x^3 - 3x^2 - 3x + 1 = 0\). 3. Определим коэффициенты уравнения: \(a = 1\) \(b = -3\) \(c = -3\) \(d = 1\) 4. Для кубического уравнения сумма корней \(x_1 + x_2 + x_3\) находится по формуле: \[x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}\] 5. Подставим значения коэффициентов: \[x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{-3}{1} = 3\] Ответ: Сумма корней уравнения равна 3.