Решение уравнения x^4 = (4x - 5)^2

Решим задачу. Решите уравнение: \(x^4 = (4x - 5)^2\) Если уравнение имеет несколько корней, в ответе укажите их произведение. Решение: 1. Уравнение имеет вид \(A^2 = B^2\), что равносильно \(A = B\) или \(A = -B\). В нашем случае \(A = x^2\) и \(B = 4x - 5\). Значит, мы можем записать два отдельных уравнения: а) \(x^2 = 4x - 5\) б) \(x^2 = -(4x - 5)\) 2. Решим первое уравнение: \(x^2 = 4x - 5\) Перенесем все члены в левую часть: \(x^2 - 4x + 5 = 0\) Найдем дискриминант \(D\) для этого квадратного уравнения по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5\) \(D = 16 - 20\) \(D = -4\) Так как дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), это уравнение не имеет действительных корней. 3. Решим второе уравнение: \(x^2 = -(4x - 5)\) Раскроем скобки: \(x^2 = -4x + 5\) Перенесем все члены в левую часть: \(x^2 + 4x - 5 = 0\) Найдем дискриминант \(D\) для этого квадратного уравнения: \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)\) \(D = 16 + 20\) \(D = 36\) Так как дискриминант положительный (\(D > 0\)), это уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\) \(x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5\) 4. Уравнение \(x^4 = (4x - 5)^2\) имеет два действительных корня: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -5\). В задании требуется указать произведение этих корней. Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot (-5) = -5\) Ответ: -5