Решение уравнения (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 360

Решим задачу. Замена переменной. Решите уравнение \((x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 360\) Сколько действительных корней имеет уравнение? Введите рациональные корни уравнения. Решение: 1. Перегруппируем множители для удобства: \((x + 1)(x + 4) \cdot (x + 2)(x + 3) = 360\) 2. Перемножим пары скобок: \((x^2 + 4x + x + 4) \cdot (x^2 + 3x + 2x + 6) = 360\) \((x^2 + 5x + 4) \cdot (x^2 + 5x + 6) = 360\) 3. Введем замену переменной. Пусть \(y = x^2 + 5x\). Тогда уравнение примет вид: \((y + 4)(y + 6) = 360\) 4. Раскроем скобки и решим квадратное уравнение относительно \(y\): \(y^2 + 6y + 4y + 24 = 360\) \(y^2 + 10y + 24 - 360 = 0\) \(y^2 + 10y - 336 = 0\) 5. Найдем дискриминант \(D\) для этого квадратного уравнения: \(D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-336)\) \(D = 100 + 1344\) \(D = 1444\) \(\sqrt{D} = \sqrt{1444} = 38\) 6. Найдем корни \(y_1\) и \(y_2\): \(y_1 = \frac{-10 + 38}{2} = \frac{28}{2} = 14\) \(y_2 = \frac{-10 - 38}{2} = \frac{-48}{2} = -24\) 7. Теперь вернемся к замене переменной \(y = x^2 + 5x\) и решим два новых квадратных уравнения для \(x\). Случай 1: \(y = 14\) \(x^2 + 5x = 14\) \(x^2 + 5x - 14 = 0\) Найдем дискриминант \(D_1\): \(D_1 = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\) \(\sqrt{D_1} = \sqrt{81} = 9\) Найдем корни \(x_1\) и \(x_2\): \(x_1 = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2\) \(x_2 = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7\) Эти корни являются действительными и рациональными. Случай 2: \(y = -24\) \(x^2 + 5x = -24\) \(x^2 + 5x + 24 = 0\) Найдем дискриминант \(D_2\): \(D_2 = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 25 - 96 = -71\) Так как дискриминант отрицательный (\(D_2 < 0\)), это уравнение не имеет действительных корней. 8. Итак, уравнение имеет два действительных корня: \(2\) и \(-7\). Оба они являются рациональными. Ответы на вопросы: Сколько действительных корней имеет уравнение? Ответ: 2 Введите рациональные корни уравнения (в порядке возрастания, через запятую, если их несколько): Ответ: -7, 2