Решение уравнения (2x+7)/(x^2+5x-6) + 3/(x^2+9x+18) = 1/(x+3)

Решим задачу. Решите уравнение: \[\frac{2x + 7}{x^2 + 5x - 6} + \frac{3}{x^2 + 9x + 18} = \frac{1}{x + 3}\] Введите корень уравнения. Решение: 1. Разложим знаменатели на множители. Для первого знаменателя \(x^2 + 5x - 6 = 0\): Найдем корни квадратного уравнения: \(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\). \(x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2}\). \(x_1 = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1\). \(x_2 = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6\). Значит, \(x^2 + 5x - 6 = (x - 1)(x + 6)\). Для второго знаменателя \(x^2 + 9x + 18 = 0\): Найдем корни квадратного уравнения: \(D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9\). \(x = \frac{-9 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-9 \pm 3}{2}\). \(x_3 = \frac{-9 + 3}{2} = \frac{-6}{2} = -3\). \(x_4 = \frac{-9 - 3}{2} = \frac{-12}{2} = -6\). Значит, \(x^2 + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6)\). 2. Перепишем уравнение с разложенными знаменателями: \[\frac{2x + 7}{(x - 1)(x + 6)} + \frac{3}{(x + 3)(x + 6)} = \frac{1}{x + 3}\] 3. Определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели не равны нулю: \(x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\) \(x + 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -6\) \(x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3\) 4. Приведем все дроби к общему знаменателю, который равен \((x - 1)(x + 3)(x + 6)\). Умножим каждую дробь на недостающие множители: \[\frac{(2x + 7)(x + 3)}{(x - 1)(x + 6)(x + 3)} + \frac{3(x - 1)}{(x + 3)(x + 6)(x - 1)} = \frac{1(x - 1)(x + 6)}{(x + 3)(x - 1)(x + 6)}\] 5. Теперь, когда знаменатели одинаковы, мы можем приравнять числители: \((2x + 7)(x + 3) + 3(x - 1) = (x - 1)(x + 6)\) 6. Раскроем скобки и упростим уравнение: \(2x^2 + 6x + 7x + 21 + 3x - 3 = x^2 + 6x - x - 6\) \(2x^2 + 16x + 18 = x^2 + 5x - 6\) 7. Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные: \(2x^2 - x^2 + 16x - 5x + 18 + 6 = 0\) \(x^2 + 11x + 24 = 0\) 8. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант \(D\): \(D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25\) \(\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5\) 9. Найдем корни \(x_1\) и \(x_2\): \(x_1 = \frac{-11 + 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\) \(x_2 = \frac{-11 - 5}{2} = \frac{-16}{2} = -8\) 10. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. ОДЗ: \(x \neq 1\), \(x \neq -6\), \(x \neq -3\). Корень \(x_1 = -3\) не удовлетворяет ОДЗ, так как при \(x = -3\) знаменатель \((x + 3)\) обращается в ноль. Значит, \(x_1 = -3\) является посторонним корнем. Корень \(x_2 = -8\) удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, уравнение имеет один корень. Ответ: -8