Решение: sin(α) и наибольшее значение 2 + 3sin(x)

Вот решения задач из "Варианта 3": 1) Вычислите \( \sin\alpha \), если \( \cos\alpha = -\frac{5}{13} \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Решение: Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \). Подставим значение \( \cos\alpha \): \( \sin^2\alpha + \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 \) \( \sin^2\alpha + \frac{25}{169} = 1 \) \( \sin^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} \) \( \sin^2\alpha = \frac{169 - 25}{169} \) \( \sin^2\alpha = \frac{144}{169} \) \( \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} \) \( \sin\alpha = \pm \frac{12}{13} \) По условию, \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Это вторая четверть, где синус положительный. Значит, \( \sin\alpha = \frac{12}{13} \). Ответ: \( \frac{12}{13} \). 2) Найдите наибольшее значение выражения \( 2 + 3\sin x \). Решение: Мы знаем, что функция \( \sin x \) принимает значения в диапазоне от \( -1 \) до \( 1 \), то есть \( -1 \le \sin x \le 1 \). Чтобы найти наибольшее значение выражения \( 2 + 3\sin x \), нужно подставить наибольшее возможное значение \( \sin x \). Наибольшее значение \( \sin x \) равно \( 1 \). Подставим \( \sin x = 1 \) в выражение: \( 2 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5 \). Ответ: \( 5 \). 3) Вычислите: \( \sin\frac{\pi}{3} \cdot \text{tg}\frac{\pi}{3} + 1,5 \). Решение: Сначала найдем значения \( \sin\frac{\pi}{3} \) и \( \text{tg}\frac{\pi}{3} \). \( \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \) Теперь подставим эти значения в выражение: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} + 1,5 = \frac{3}{2} + 1,5 = 1,5 + 1,5 = 3 \). Ответ: \( 3 \). 4) Найдите значение выражения \( 25 - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x \). Решение: Вынесем общий множитель \( -2 \) из последних двух слагаемых: \( 25 - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x = 25 - 2(\sin^2 x + \cos^2 x) \) Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Подставим это в выражение: \( 25 - 2(1) = 25 - 2 = 23 \). Ответ: \( 23 \). 5) Упростите выражение \( \text{tg}^2 x - 4\cos^2 x + 5 - 4\sin^2 x \). Решение: Перегруппируем слагаемые: \( \text{tg}^2 x + 5 - 4\cos^2 x - 4\sin^2 x \) Вынесем общий множитель \( -4 \) из последних двух слагаемых: \( \text{tg}^2 x + 5 - 4(\cos^2 x + \sin^2 x) \) Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Подставим это в выражение: \( \text{tg}^2 x + 5 - 4(1) = \text{tg}^2 x + 5 - 4 = \text{tg}^2 x + 1 \) Также известно, что \( 1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \). Значит, выражение можно упростить до \( \frac{1}{\cos^2 x} \). Ответ: \( \text{tg}^2 x + 1 \) или \( \frac{1}{\cos^2 x} \).