Вариант 3
1) Вычислите \( \sin\alpha \), если \( \cos\alpha = -\frac{5}{13} \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \).
Решение:
Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \).
Подставим известное значение \( \cos\alpha \):
\( \sin^2\alpha + \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 \)
\( \sin^2\alpha + \frac{25}{169} = 1 \)
\( \sin^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} \)
\( \sin^2\alpha = \frac{169 - 25}{169} \)
\( \sin^2\alpha = \frac{144}{169} \)
Извлекаем квадратный корень:
\( \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} \)
\( \sin\alpha = \pm\frac{12}{13} \)
По условию, \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Это означает, что угол \( \alpha \) находится во второй четверти. Во второй четверти синус положительный.
Следовательно, \( \sin\alpha = \frac{12}{13} \).
Ответ: \( \sin\alpha = \frac{12}{13} \).
2) Найдите наибольшее значение выражения \( 2 + 3\sin x \).
Решение:
Мы знаем, что функция \( \sin x \) принимает значения в диапазоне от -1 до 1 включительно:
\( -1 \le \sin x \le 1 \)
Чтобы найти наибольшее значение выражения \( 2 + 3\sin x \), нужно, чтобы \( \sin x \) принимал свое наибольшее значение, то есть 1.
Подставим \( \sin x = 1 \) в выражение:
\( 2 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5 \)
Ответ: Наибольшее значение выражения равно 5.
3) Вычислите: \( \sin\frac{\pi}{3} \cdot \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} + 1,5 \).
Решение:
Вспомним значения тригонометрических функций для угла \( \frac{\pi}{3} \) (что соответствует 60 градусам):
\( \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \)
Подставим эти значения в выражение:
\( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} + 1,5 \)
\( \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} + 1,5 \)
\( \frac{3}{2} + 1,5 \)
\( 1,5 + 1,5 \)
\( 3 \)
Ответ: 3.
4) Найдите значение выражения \( 25 - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x \).
Решение:
Вынесем общий множитель -2 за скобки из последних двух слагаемых:
\( 25 - 2(\sin^2 x + \cos^2 x) \)
Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
Подставим 1 в выражение:
\( 25 - 2 \cdot 1 \)
\( 25 - 2 \)
\( 23 \)
Ответ: 23.
5) Упростите выражение \( \operatorname{tg}^2 x - 4\cos^2 x + 5 - 4\sin^2 x \).
Решение:
Перегруппируем слагаемые и вынесем общий множитель -4 из \( -4\cos^2 x - 4\sin^2 x \):
\( \operatorname{tg}^2 x + 5 - 4\cos^2 x - 4\sin^2 x \)
\( \operatorname{tg}^2 x + 5 - 4(\cos^2 x + \sin^2 x) \)
Используем основное тригонометрическое тождество: \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \).
Подставим 1 в выражение:
\( \operatorname{tg}^2 x + 5 - 4 \cdot 1 \)
\( \operatorname{tg}^2 x + 5 - 4 \)
\( \operatorname{tg}^2 x + 1 \)
Используем еще одно тригонометрическое тождество: \( 1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \).
Таким образом, выражение упрощается до \( \frac{1}{\cos^2 x} \).
Ответ: \( \frac{1}{\cos^2 x} \).