Решение задачи: вычисление sin(α) при cos(α) = -5/13

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Вариант 3 1) Вычислите \( \sin\alpha \), если \( \cos\alpha = -\frac{5}{13} \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Решение: Мы знаем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \). Отсюда выразим \( \sin^2\alpha \): \( \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha \) Подставим значение \( \cos\alpha \): \( \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 \) \( \sin^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} \) Приведем к общему знаменателю: \( \sin^2\alpha = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} \) \( \sin^2\alpha = \frac{169 - 25}{169} \) \( \sin^2\alpha = \frac{144}{169} \) Теперь найдем \( \sin\alpha \): \( \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} \) \( \sin\alpha = \pm\frac{12}{13} \) Нам дано, что \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Это вторая четверть. Во второй четверти синус положительный. Значит, \( \sin\alpha = \frac{12}{13} \). Ответ: \( \frac{12}{13} \). 2) Найдите наибольшее значение выражения \( 2 + 3\sin x \). Решение: Мы знаем, что функция \( \sin x \) принимает значения в диапазоне от -1 до 1, то есть \( -1 \le \sin x \le 1 \). Чтобы найти наибольшее значение выражения \( 2 + 3\sin x \), нужно подставить наибольшее возможное значение \( \sin x \). Наибольшее значение \( \sin x \) равно 1. Подставим его в выражение: \( 2 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5 \). Ответ: 5. 3) Вычислите: \( \sin\frac{\pi}{3} \cdot \text{tg}\frac{\pi}{3} + 1,5 \). Решение: Вспомним значения тригонометрических функций для угла \( \frac{\pi}{3} \) (что равно 60 градусам): \( \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \) Подставим эти значения в выражение: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} + 1,5 \) \( \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} + 1,5 \) \( \frac{3}{2} + 1,5 \) \( 1,5 + 1,5 \) \( 3 \). Ответ: 3. 4) Найдите значение выражения \( 25 - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x \). Решение: Вынесем общий множитель -2 за скобки: \( 25 - 2(\sin^2 x + \cos^2 x) \) Мы знаем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Подставим это в выражение: \( 25 - 2 \cdot 1 \) \( 25 - 2 \) \( 23 \). Ответ: 23. 5) Упростите выражение \( \text{tg}^2 x - 4\cos^2 x + 5 - 4\sin^2 x \). Решение: Перегруппируем слагаемые: \( \text{tg}^2 x + 5 - 4\cos^2 x - 4\sin^2 x \) Вынесем общий множитель -4 из последних двух слагаемых: \( \text{tg}^2 x + 5 - 4(\cos^2 x + \sin^2 x) \) Мы знаем основное тригонометрическое тождество: \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \). Подставим это в выражение: \( \text{tg}^2 x + 5 - 4 \cdot 1 \) \( \text{tg}^2 x + 5 - 4 \) \( \text{tg}^2 x + 1 \) Мы также знаем тождество \( 1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \). Значит, \( \text{tg}^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x} \). Ответ: \( \frac{1}{\cos^2 x} \).