Решение задачи: sin α при cos α = -0,6

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Вариант 1 1) Вычислите \( \sin\alpha \), если \( \cos\alpha = -0,6 \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Решение: Мы знаем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \). Отсюда выразим \( \sin^2\alpha \): \( \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha \) Подставим значение \( \cos\alpha = -0,6 \): \( \sin^2\alpha = 1 - (-0,6)^2 \) \( \sin^2\alpha = 1 - 0,36 \) \( \sin^2\alpha = 0,64 \) Теперь найдем \( \sin\alpha \): \( \sin\alpha = \pm\sqrt{0,64} \) \( \sin\alpha = \pm 0,8 \) Нам дано, что \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Это вторая четверть. Во второй четверти синус положительный. Значит, \( \sin\alpha = 0,8 \). Ответ: 0,8. 2) Найдите наибольшее значение выражения \( 3 + 4\sin x \). Решение: Мы знаем, что функция \( \sin x \) принимает значения в диапазоне от -1 до 1, то есть \( -1 \le \sin x \le 1 \). Чтобы найти наибольшее значение выражения \( 3 + 4\sin x \), нужно подставить наибольшее возможное значение \( \sin x \). Наибольшее значение \( \sin x \) равно 1. Подставим его в выражение: \( 3 + 4 \cdot 1 = 3 + 4 = 7 \). Ответ: 7. 3) Вычислите: \( \sin\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{6} + \frac{1}{4} \). Решение: Вспомним значения тригонометрических функций для углов \( \frac{\pi}{3} \) (60 градусов) и \( \frac{\pi}{6} \) (30 градусов): \( \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) Подставим эти значения в выражение: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{4} \) \( \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4} \) \( \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \) \( \frac{3+1}{4} \) \( \frac{4}{4} \) \( 1 \). Ответ: 1. 4) Найдите значение выражения \( 10 - 5\sin^2 x - 5\cos^2 x \). Решение: Вынесем общий множитель -5 за скобки: \( 10 - 5(\sin^2 x + \cos^2 x) \) Мы знаем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Подставим это в выражение: \( 10 - 5 \cdot 1 \) \( 10 - 5 \) \( 5 \). Ответ: 5. 5) Упростите выражение \( \text{tg}^2 x + \sin^2 x + \cos^2 x \). Решение: Мы знаем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Подставим это в выражение: \( \text{tg}^2 x + 1 \) Мы также знаем тождество \( 1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \). Значит, \( \text{tg}^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x} \). Ответ: \( \frac{1}{\cos^2 x} \).