Решение задачи: Теорема синусов

Решим задачу. Мистер Фокс три раза написал на доске теорему синусов для треугольников \(MNK\), \(ABC\) и \(DEF\), а Мистер Форд в шутку поменял буквы в некоторых равенствах. В каком случае теорема синусов записана верно? Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для данного треугольника. То есть, для треугольника со сторонами \(a, b, c\) и противолежащими углами \(A, B, C\) соответственно, верно равенство: \[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\] Рассмотрим предложенные варианты: 1. Для треугольника \(MNK\): Сторона \(MN\) лежит напротив угла \(K\). Сторона \(NK\) лежит напротив угла \(M\). Сторона \(MK\) лежит напротив угла \(N\). Правильная запись теоремы синусов должна быть: \[\frac{MN}{\sin K} = \frac{NK}{\sin M} = \frac{MK}{\sin N}\] Предложенный вариант: \[\frac{MN}{\sin K} = \frac{NK}{\sin M} = \frac{MK}{\sin K}\] Здесь ошибка в последнем члене: вместо \(\sin N\) написано \(\sin K\). Значит, этот вариант неверный. 2. Для треугольника \(ABC\): Сторона \(AB\) лежит напротив угла \(C\). Сторона \(AC\) лежит напротив угла \(B\). Сторона \(BC\) лежит напротив угла \(A\). Правильная запись теоремы синусов должна быть: \[\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}\] Предложенный вариант: \[\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin A} = \frac{BC}{\sin B}\] Здесь ошибка во втором и третьем членах: вместо \(\frac{AC}{\sin B}\) написано \(\frac{AC}{\sin A}\), и вместо \(\frac{BC}{\sin A}\) написано \(\frac{BC}{\sin B}\). Значит, этот вариант неверный. 3. Для треугольника \(DEF\): Сторона \(DE\) лежит напротив угла \(F\). Сторона \(EF\) лежит напротив угла \(D\). Сторона \(DF\) лежит напротив угла \(E\). Правильная запись теоремы синусов должна быть: \[\frac{DE}{\sin F} = \frac{EF}{\sin D} = \frac{DF}{\sin E}\] Предложенный вариант: \[\frac{DE}{\sin F} = \frac{EF}{\sin D} = \frac{DF}{\sin E}\] Этот вариант полностью соответствует теореме синусов. Таким образом, верная запись теоремы синусов представлена в третьем случае. Ответ: Третий вариант.