Найти tg α, если cos α = -√3/2 и 90° < α < 180°

Решим задачу по тригонометрии. Задача: Найдите \( \text{tg } \alpha \), если \( \text{cos } \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Решение: 1. Нам дано значение \( \text{cos } \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) и интервал для угла \( \alpha \): \( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Этот интервал означает, что угол \( \alpha \) находится во второй четверти. 2. Вспомним основное тригонометрическое тождество: \( \text{sin}^2 \alpha + \text{cos}^2 \alpha = 1 \) 3. Подставим известное значение \( \text{cos } \alpha \) в тождество, чтобы найти \( \text{sin } \alpha \): \( \text{sin}^2 \alpha + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 \) \( \text{sin}^2 \alpha + \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = 1 \) \( \text{sin}^2 \alpha + \frac{3}{4} = 1 \) 4. Выразим \( \text{sin}^2 \alpha \): \( \text{sin}^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4} \) \( \text{sin}^2 \alpha = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} \) \( \text{sin}^2 \alpha = \frac{1}{4} \) 5. Теперь найдем \( \text{sin } \alpha \), извлекая квадратный корень: \( \text{sin } \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} \) \( \text{sin } \alpha = \pm\frac{1}{2} \) 6. Определим знак \( \text{sin } \alpha \). Поскольку угол \( \alpha \) находится во второй четверти (\( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \)), синус угла в этой четверти положительный. Значит, \( \text{sin } \alpha = \frac{1}{2} \). 7. Теперь, когда мы знаем \( \text{sin } \alpha \) и \( \text{cos } \alpha \), мы можем найти \( \text{tg } \alpha \) по формуле: \( \text{tg } \alpha = \frac{\text{sin } \alpha}{\text{cos } \alpha} \) 8. Подставим найденные значения: \( \text{tg } \alpha = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} \) 9. Выполним деление дробей: \( \text{tg } \alpha = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \) \( \text{tg } \alpha = -\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot \sqrt{3}} \) \( \text{tg } \alpha = -\frac{2}{2\sqrt{3}} \) \( \text{tg } \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) 10. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \): \( \text{tg } \alpha = -\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} \) \( \text{tg } \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3} \) Ответ: \( \text{tg } \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3} \)