Решение задачи: Найти высоту и площадь параллелограмма

Решим задачу по геометрии. Задача: Пользуясь данными чертежа и зная, что \( \text{cos } ABC = -0.8 \), найдите высоту \( CH \) и площадь параллелограмма \( ABCD \). Дано: Параллелограмм \( ABCD \). Сторона \( AB = 10 \). Сторона \( BC = 12 \). \( \text{cos } \angle ABC = -0.8 \). \( CH \) - высота, опущенная из вершины \( C \) на продолжение стороны \( AD \). Найти: \( CH \) \( S_{ABCD} \) Решение: 1. Найдем синус угла \( ABC \). Мы знаем основное тригонометрическое тождество: \( \text{sin}^2 \alpha + \text{cos}^2 \alpha = 1 \). В нашем случае \( \alpha = \angle ABC \). \( \text{sin}^2 \angle ABC + (\text{cos } \angle ABC)^2 = 1 \) \( \text{sin}^2 \angle ABC + (-0.8)^2 = 1 \) \( \text{sin}^2 \angle ABC + 0.64 = 1 \) \( \text{sin}^2 \angle ABC = 1 - 0.64 \) \( \text{sin}^2 \angle ABC = 0.36 \) \( \text{sin } \angle ABC = \pm\sqrt{0.36} \) \( \text{sin } \angle ABC = \pm 0.6 \) Поскольку \( \text{cos } \angle ABC = -0.8 \), это означает, что угол \( ABC \) тупой (находится во второй четверти, если рассматривать его как угол в единичной окружности). Синус тупого угла всегда положительный. Значит, \( \text{sin } \angle ABC = 0.6 \). 2. Рассмотрим треугольник \( BCH \). На чертеже видно, что \( CH \) - это высота, опущенная на продолжение стороны \( AD \). Это означает, что \( \angle CHH' = 90^\circ \), где \( H' \) - точка на прямой \( AD \). Угол \( \angle BCH \) не является углом \( ABC \). Однако, мы можем использовать угол \( \angle ABC \) для нахождения высоты. В параллелограмме сумма соседних углов равна \( 180^\circ \). Значит, \( \angle DAB + \angle ABC = 180^\circ \). Или \( \angle BCD + \angle ABC = 180^\circ \). Также \( \angle CDA + \angle ABC = 180^\circ \). Угол \( \angle CDH \) является смежным с углом \( \angle CDA \). \( \angle CDH = 180^\circ - \angle CDA \). Так как \( \angle CDA = 180^\circ - \angle ABC \), то \( \angle CDH = 180^\circ - (180^\circ - \angle ABC) = \angle ABC \). Это не совсем так. Угол \( \angle CDH \) - это угол, который образует сторона \( CD \) с продолжением стороны \( AD \). В треугольнике \( CDH \), \( \angle CDH \) - это внешний угол к углу \( CDA \). Угол \( \angle CDA \) и \( \angle ABC \) являются противоположными углами в параллелограмме, поэтому \( \angle CDA = \angle ABC \). Это неверно. В параллелограмме противоположные углы равны: \( \angle DAB = \angle BCD \) и \( \angle ABC = \angle ADC \). Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \( 180^\circ \). Значит, \( \angle DAB + \angle ABC = 180^\circ \). И \( \angle ADC + \angle DAB = 180^\circ \). Следовательно, \( \angle ADC = 180^\circ - \angle DAB \). И \( \angle DAB = 180^\circ - \angle ABC \). Тогда \( \angle ADC = 180^\circ - (180^\circ - \angle ABC) = \angle ABC \). Это неверно. \( \angle ADC \) и \( \angle ABC \) - это противоположные углы, они равны. \( \angle ADC = \angle ABC \). Но \( \text{cos } \angle ABC = -0.8 \), значит \( \angle ABC \) тупой. Тогда \( \angle ADC \) тоже тупой. Высота \( CH \) опускается на продолжение стороны \( AD \). Рассмотрим прямоугольный треугольник \( CDH \). В этом треугольнике угол \( \angle CDH \) является смежным с углом \( \angle ADC \). \( \angle CDH = 180^\circ - \angle ADC \). Так как \( \angle ADC = \angle ABC \), то \( \angle CDH = 180^\circ - \angle ABC \). Мы знаем, что \( \text{sin } (180^\circ - \alpha) = \text{sin } \alpha \). Значит, \( \text{sin } \angle CDH = \text{sin } (180^\circ - \angle ABC) = \text{sin } \angle ABC = 0.6 \). 3. В прямоугольном треугольнике \( CDH \): Гипотенуза \( CD \) равна стороне \( AB \) параллелограмма, так как противоположные стороны параллелограмма равны. \( CD = AB = 10 \). Высота \( CH \) является катетом, противолежащим углу \( \angle CDH \). По определению синуса в прямоугольном треугольнике: \( \text{sin } \angle CDH = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CH}{CD} \) \( 0.6 = \frac{CH}{10} \) \( CH = 0.6 \cdot 10 \) \( CH = 6 \) 4. Найдем площадь параллелограмма \( ABCD \). Площадь параллелограмма можно найти по формуле: \( S = \text{сторона} \cdot \text{высота, опущенная на эту сторону} \). В нашем случае, высота \( CH \) опущена на сторону \( AD \) (или ее продолжение). Сторона \( AD \) равна стороне \( BC \) параллелограмма. \( AD = BC = 12 \). Тогда площадь \( S_{ABCD} = AD \cdot CH \). \( S_{ABCD} = 12 \cdot 6 \) \( S_{ABCD} = 72 \) Также площадь параллелограмма можно найти по формуле: \( S = a \cdot b \cdot \text{sin } \gamma \), где \( a \) и \( b \) - смежные стороны, а \( \gamma \) - угол между ними. \( S_{ABCD} = AB \cdot BC \cdot \text{sin } \angle ABC \) \( S_{ABCD} = 10 \cdot 12 \cdot 0.6 \) \( S_{ABCD} = 120 \cdot 0.6 \) \( S_{ABCD} = 72 \) Оба способа дают одинаковый результат, что подтверждает правильность вычислений. Ответ: \( CH = 6 \) \( S_{ABCD} = 72 \)