Решение: Принадлежность точек единичной полуокружности

Решим задачу по аналитической геометрии. Задача: Единичная полуокружность задается уравнением \( x^2 + y^2 = 1 \) при условии \( y \ge 0 \). Отметьте точки, которые лежат на единичной полуокружности. Единичная полуокружность - это часть окружности с центром в начале координат \( (0,0) \) и радиусом \( R=1 \), которая находится в верхней полуплоскости (где \( y \ge 0 \)). Чтобы проверить, лежит ли точка \( (x, y) \) на этой полуокружности, нужно выполнить два условия: 1. Подставить координаты точки в уравнение \( x^2 + y^2 = 1 \) и убедиться, что равенство выполняется. 2. Проверить, что координата \( y \) этой точки больше или равна нулю (\( y \ge 0 \)). Проверим каждую из предложенных точек: 1) Точка \( W\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \) Проверим условие \( x^2 + y^2 = 1 \): \( \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{2^2} + \frac{(\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \) Равенство выполняется. Проверим условие \( y \ge 0 \): \( \frac{\sqrt{2}}{2} \ge 0 \) - это верно. Значит, точка \( W \) лежит на единичной полуокружности. 2) Точка \( V\left(\frac{3}{2}; 0\right) \) Проверим условие \( x^2 + y^2 = 1 \): \( \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 0^2 = \frac{9}{4} + 0 = \frac{9}{4} \) Так как \( \frac{9}{4} \ne 1 \), равенство не выполняется. Значит, точка \( V \) не лежит на единичной полуокружности. 3) Точка \( L(0; 1) \) Проверим условие \( x^2 + y^2 = 1 \): \( 0^2 + 1^2 = 0 + 1 = 1 \) Равенство выполняется. Проверим условие \( y \ge 0 \): \( 1 \ge 0 \) - это верно. Значит, точка \( L \) лежит на единичной полуокружности. 4) Точка \( D\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right) \) Проверим условие \( x^2 + y^2 = 1 \): \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} + \frac{(-1)^2}{2^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \) Равенство выполняется. Проверим условие \( y \ge 0 \): \( -\frac{1}{2} \ge 0 \) - это неверно, так как \( -\frac{1}{2} < 0 \). Значит, точка \( D \) не лежит на единичной полуокружности (она лежит на единичной окружности, но в нижней полуплоскости). Таким образом, точки, которые лежат на единичной полуокружности, это \( W \) и \( L \). Ответ: Точки, которые лежат на единичной полуокружности: 1) \( W\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \) 3) \( L(0; 1) \)