Решение задачи: Координаты точки K на единичной окружности (β = 180°)

Решим задачу по тригонометрии и координатной геометрии. Задача: Угол между лучом \( OK \), пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью \( Ox \) равен \( \beta \). Найдите координаты точки \( K \), если \( OK = 1 \), а \( \beta = 180^\circ \). Решение: 1. По условию, луч \( OK \) пересекает единичную полуокружность. Это означает, что точка \( K \) лежит на единичной окружности. Единичная окружность - это окружность с центром в начале координат \( (0,0) \) и радиусом \( R=1 \). Координаты любой точки \( (x, y) \) на единичной окружности могут быть выражены через угол \( \beta \) (угол между радиус-вектором точки и положительной полуосью \( Ox \)) по формулам: \( x = R \cdot \text{cos } \beta \) \( y = R \cdot \text{sin } \beta \) 2. В данной задаче нам дано, что \( OK = 1 \). Это означает, что радиус \( R = 1 \). Также нам дан угол \( \beta = 180^\circ \). 3. Подставим значения \( R=1 \) и \( \beta = 180^\circ \) в формулы для координат: \( x = 1 \cdot \text{cos } 180^\circ \) \( y = 1 \cdot \text{sin } 180^\circ \) 4. Вспомним значения косинуса и синуса для угла \( 180^\circ \): \( \text{cos } 180^\circ = -1 \) \( \text{sin } 180^\circ = 0 \) 5. Теперь вычислим координаты точки \( K \): \( x = 1 \cdot (-1) = -1 \) \( y = 1 \cdot 0 = 0 \) 6. Таким образом, координаты точки \( K \) равны \( (-1; 0) \). 7. Проверим предложенные варианты ответов: 1) \( \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}; \frac{2}{2}\right) \) - не подходит. 2) \( \left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}; -\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) \) - не подходит. 3) \( (-1; 0) \) - подходит. 4) \( \left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \) - не подходит. Ответ: Координаты точки \( K \) равны \( (-1; 0) \).