Решение задачи: треугольник KLM, найти LM

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы школьнику было удобно переписать в тетрадь:

Цифровое Домашнее Задание

ЗАДАНИЕ 6

Выберите один из нескольких вариантов

В треугольнике KLM угол K равен \( 60^\circ \), угол M равен \( 45^\circ \), сторона KL равна 8 см. Найдите MN.

Варианты ответа:

* 8 * 4 * \( 8\sqrt{3} \) * \( 4\sqrt{3} \)

---

РЕШЕНИЕ:

В условии задачи указан треугольник KLM, но просят найти сторону MN. Это, скорее всего, опечатка. Предположим, что нужно найти сторону LM (или KM, но обычно просят найти сторону, противолежащую известному углу, или прилежащую к известным углам). Если просят найти MN, то это может означать, что точка N является какой-то особой точкой в треугольнике KLM, или же это опечатка и имелась в виду сторона LM.

Давайте предположим, что нужно найти сторону LM.

Дан треугольник KLM. Известно: Угол K \( = 60^\circ \) Угол M \( = 45^\circ \) Сторона KL \( = 8 \) см

Нам нужно найти сторону LM.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно для всех сторон треугольника. \[ \frac{a}{\text{sin } A} = \frac{b}{\text{sin } B} = \frac{c}{\text{sin } C} \] В нашем случае: \[ \frac{LM}{\text{sin } K} = \frac{KL}{\text{sin } M} = \frac{KM}{\text{sin } L} \]

Сначала найдем угол L. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \). Угол L \( = 180^\circ - \) Угол K \( - \) Угол M Угол L \( = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ \) Угол L \( = 180^\circ - 105^\circ \) Угол L \( = 75^\circ \)

Теперь применим теорему синусов для нахождения LM: \[ \frac{LM}{\text{sin } K} = \frac{KL}{\text{sin } M} \] Подставим известные значения: \[ \frac{LM}{\text{sin } 60^\circ} = \frac{8}{\text{sin } 45^\circ} \]

Вспомним значения синусов для стандартных углов: \( \text{sin } 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \text{sin } 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Подставим эти значения в уравнение: \[ \frac{LM}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]

Упростим уравнение: \[ LM \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 8 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \] \[ LM \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \] \[ LM = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \): \[ LM = 8 \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \] \[ LM = 8 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} \] \[ LM = 4\sqrt{6} \]

Теперь сравним полученный результат с вариантами ответа. Варианты: * 8 * 4 * \( 8\sqrt{3} \) * \( 4\sqrt{3} \)

Наш результат \( 4\sqrt{6} \) не совпадает ни с одним из предложенных вариантов. Это указывает на то, что либо в задаче есть опечатка в данных, либо в вопросе (MN вместо LM), либо в вариантах ответа.

Если предположить, что в задаче просят найти сторону KM, то: \[ \frac{KM}{\text{sin } L} = \frac{KL}{\text{sin } M} \] \[ \frac{KM}{\text{sin } 75^\circ} = \frac{8}{\text{sin } 45^\circ} \] \( \text{sin } 75^\circ = \text{sin}(45^\circ + 30^\circ) = \text{sin } 45^\circ \text{cos } 30^\circ + \text{cos } 45^\circ \text{sin } 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \) \[ KM = \frac{8 \cdot \text{sin } 75^\circ}{\text{sin } 45^\circ} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 4(\sqrt{3} + 1) = 4\sqrt{3} + 4 \] Этот результат также не совпадает с вариантами.

Вернемся к предположению, что в вопросе "Найдите MN" есть опечатка, и имелась в виду сторона LM. Наш результат \( LM = 4\sqrt{6} \).

Давайте еще раз проверим расчеты. \[ \frac{LM}{\text{sin } 60^\circ} = \frac{8}{\text{sin } 45^\circ} \] \[ LM = \frac{8 \cdot \text{sin } 60^\circ}{\text{sin } 45^\circ} \] \[ LM = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] \[ LM = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] \[ LM = 4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \] \[ LM = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \] \[ LM = \frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} \] \[ LM = 4\sqrt{6} \] Расчеты верны.

Возможно, в условии задачи есть другая опечатка, например, в значении угла или стороны. Если бы, например, угол M был \( 60^\circ \) и угол K был \( 45^\circ \), а KL = 8, то LM было бы: Угол L \( = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ \) \[ \frac{LM}{\text{sin } 45^\circ} = \frac{8}{\text{sin } 60^\circ} \] \[ LM = \frac{8 \cdot \text{sin } 45^\circ}{\text{sin } 60^\circ} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{3} \] Это тоже не подходит.

Давайте рассмотрим вариант, что в условии задачи вместо KL=8 см, имелась в виду другая сторона, или же один из углов был другим.

Если бы ответ был \( 4\sqrt{3} \), то: \[ 4\sqrt{3} = \frac{8 \cdot \text{sin } 60^\circ}{\text{sin } 45^\circ} \] \[ 4\sqrt{3} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] \[ 4\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] \[ 4\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \] \[ 1 = \frac{2}{\sqrt{2}} \] \[ 1 = \sqrt{2} \] Это неверно.

Если бы ответ был \( 8\sqrt{3} \), то: \[ 8\sqrt{3} = \frac{8 \cdot \text{sin } 60^\circ}{\text{sin } 45^\circ} \] \[ 8\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \] \[ 1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Это неверно.

Если бы ответ был 8, то: \[ 8 = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \] \[ 1 = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \] Это неверно.

Если бы ответ был 4, то: \[ 4 = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \] \[ 1 = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \] \[ 1 = \sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{6} \] Это неверно.

Таким образом, с данными условиями \( \text{угол K} = 60^\circ \), \( \text{угол M} = 45^\circ \), \( \text{сторона KL} = 8 \) см, и если нужно найти LM, то ответ \( 4\sqrt{6} \). Ни один из предложенных вариантов не совпадает.

Возможно, в задаче есть опечатка в названии стороны, которую нужно найти. Если бы нужно было найти KM, то ответ \( 4\sqrt{3} + 4 \).

Давайте предположим, что в условии задачи есть опечатка, и вместо \( \text{угол K} = 60^\circ \) или \( \text{угол M} = 45^\circ \) был другой угол, который привел бы к одному из ответов.

Например, если бы \( \text{угол M} = 30^\circ \): Угол L \( = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ \) Тогда треугольник KLM был бы прямоугольным с прямым углом L. \[ \frac{LM}{\text{sin } 60^\circ} = \frac{8}{\text{sin } 30^\circ} \] \[ LM = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{3} \] В этом случае ответ \( 8\sqrt{3} \) был бы верным.

Или, если бы \( \text{угол K} = 30^\circ \) и \( \text{угол M} = 45^\circ \): Угол L \( = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ \) \[ \frac{LM}{\text{sin } 30^\circ} = \frac{8}{\text{sin } 45^\circ} \] \[ LM = \frac{8 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \] Это тоже не подходит.

Учитывая, что в школьных задачах часто встречаются "красивые" ответы, и один из вариантов \( 8\sqrt{3} \) совпадает с результатом, если \( \text{угол M} \) был бы \( 30^\circ \) вместо \( 45^\circ \), то, скорее всего, это опечатка в условии задачи.

Если мы должны выбрать один из предложенных вариантов, и предполагаем, что в условии есть опечатка, которая приводит к одному из ответов, то наиболее вероятная опечатка - это \( \text{угол M} = 30^\circ \).

В таком случае, если \( \text{угол K} = 60^\circ \), \( \text{угол M} = 30^\circ \), \( \text{сторона KL} = 8 \) см, и нужно найти LM: Угол L \( = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ \). Тогда треугольник KLM - прямоугольный. Сторона LM лежит напротив угла K \( (60^\circ) \). Сторона KL лежит напротив угла M \( (30^\circ) \). По теореме синусов: \[ \frac{LM}{\text{sin } K} = \frac{KL}{\text{sin } M} \] \[ \frac{LM}{\text{sin } 60^\circ} = \frac{8}{\text{sin } 30^\circ} \] \[ LM = \frac{8 \cdot \text{sin } 60^\circ}{\text{sin } 30^\circ} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{3} \]

Таким образом, если предположить, что \( \text{угол M} = 30^\circ \) (вместо \( 45^\circ \)), то ответ \( 8\sqrt{3} \) будет верным.

Правильный ответ (при условии опечатки в задании: \( \text{угол M} = 30^\circ \) вместо \( 45^\circ \)):

* \( 8\sqrt{3} \)