Решение: Найди значение a по графику функции y = ax^2 + bx + c

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику.

11. Найди значение \(a\) по графику функции \(y = ax^2 + bx + c\), изображённому на рисунке. Решение: График функции \(y = ax^2 + bx + c\) - это парабола. По графику видно, что ветви параболы направлены вниз. Это означает, что коэффициент \(a\) должен быть отрицательным. Из предложенных вариантов ответов: 1) \(-2\) 2) \(-3\) 3) \(-1\) 4) \(0\) Только варианты 1, 2, 3 являются отрицательными. Вариант 4 (\(0\)) не подходит, так как при \(a=0\) функция становится линейной \(y = bx + c\), а это не парабола. Давайте найдем вершину параболы. По графику вершина параболы находится в точке с координатами \((-1; -1)\). Координата \(x\) вершины параболы находится по формуле \(x_в = -\frac{b}{2a}\). Координата \(y\) вершины параболы находится по формуле \(y_в = ax_в^2 + bx_в + c\). Из графика видно, что парабола проходит через точку \((0; -2)\). Подставим эту точку в уравнение функции: \(y = ax^2 + bx + c\) \(-2 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c\) \(-2 = c\) Значит, \(c = -2\). Теперь у нас есть уравнение \(y = ax^2 + bx - 2\). Вершина параболы \((-1; -1)\). Подставим эти координаты в уравнение: \(-1 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) - 2\) \(-1 = a - b - 2\) \(a - b = 1\) (Уравнение 1) Также мы знаем, что \(x_в = -1\). Используем формулу для \(x_в\): \(x_в = -\frac{b}{2a}\) \(-1 = -\frac{b}{2a}\) \(1 = \frac{b}{2a}\) \(b = 2a\) (Уравнение 2) Теперь подставим Уравнение 2 в Уравнение 1: \(a - (2a) = 1\) \(a - 2a = 1\) \(-a = 1\) \(a = -1\) Проверим, что при \(a = -1\) ветви параболы направлены вниз. Да, это так. Таким образом, значение \(a = -1\). Ответ: 3) \(-1\)

12. Чтобы найти площадь четырёхугольника, пользуются формулой \[S = \frac{d_1 d_2 \sin(\alpha)}{2}\], где \(d_1\) и \(d_2\) — диагонали четырёхугольника, \(\alpha\) — угол между диагоналями. Чему равна длина диагонали \(d_1\), если \(d_2 = 9\), \(\sin(\alpha) = \frac{4}{9}\), \(S = 15\)? Решение: Дана формула для площади четырёхугольника: \[S = \frac{d_1 d_2 \sin(\alpha)}{2}\] Нам известны следующие значения: \(S = 15\) \(d_2 = 9\) \(\sin(\alpha) = \frac{4}{9}\) Нужно найти \(d_1\). Подставим известные значения в формулу: \[15 = \frac{d_1 \cdot 9 \cdot \frac{4}{9}}{2}\] Упростим выражение в правой части: \[15 = \frac{d_1 \cdot \cancel{9} \cdot \frac{4}{\cancel{9}}}{2}\] \[15 = \frac{d_1 \cdot 4}{2}\] \[15 = d_1 \cdot 2\] Теперь выразим \(d_1\): \[d_1 = \frac{15}{2}\] \[d_1 = 7.5\] Ответ: 7.5

13. Выбери рисунок, на котором верно изображено решение неравенства \(x^2 - 7x + 10 \geq 0\). Решение: Для решения квадратного неравенства \(x^2 - 7x + 10 \geq 0\) сначала найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Используем теорему Виета или формулу дискриминанта. По теореме Виета: Сумма корней \(x_1 + x_2 = 7\) Произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = 10\) Легко подобрать корни: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 5\). Проверка: \(2 + 5 = 7\), \(2 \cdot 5 = 10\). Корни найдены верно. Теперь у нас есть парабола \(y = x^2 - 7x + 10\). Ветви этой параболы направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) равен \(1\) (положительное число). Корни параболы (точки пересечения с осью \(x\)) это \(x = 2\) и \(x = 5\). Поскольку неравенство \(x^2 - 7x + 10 \geq 0\) требует, чтобы значение функции было больше или равно нулю, нас интересуют те участки оси \(x\), где парабола находится выше или на оси \(x\). Так как ветви параболы направлены вверх, функция будет неотрицательной вне интервала между корнями. То есть, при \(x \leq 2\) или \(x \geq 5\). Точки \(x = 2\) и \(x = 5\) включены в решение, так как неравенство нестрогое (\(\geq\)). На числовой прямой это обозначается закрашенными точками. Теперь посмотрим на предложенные рисунки: 1) Заштрихован интервал между 2 и 5. Это соответствует \(2 \leq x \leq 5\). Не подходит. 2) Заштрихованы области \(x \leq 2\) и \(x \geq 5\). Точки 2 и 5 закрашены. Это соответствует нашему решению. 3) Заштрихованы области \(x \leq 2\) и \(x \geq 5\). Точки 2 и 5 выколоты. Это соответствует строгому неравенству \(x^2 - 7x + 10 > 0\). Не подходит. 4) Заштрихован интервал между 2 и 5. Точки 2 и 5 выколоты. Это соответствует \(2 < x < 5\). Не подходит. Таким образом, верный рисунок - это рисунок 2. Ответ: 2

14. Предприниматель Уткин в 2020 году заработал 8000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 200% по сравнению с предыдущим годом. Какую сумму в рублях заработает Уткин в 2024 году? Решение: Начальная прибыль в 2020 году: \(P_{2020} = 8000\) рублей. Прибыль увеличивается на 200% каждый год. Увеличение на 200% означает, что прибыль становится в \(1 + \frac{200}{100} = 1 + 2 = 3\) раза больше, чем в предыдущем году. Рассчитаем прибыль по годам: 2020 год: \(P_{2020} = 8000\) рублей. 2021 год: \(P_{2021} = P_{2020} \cdot 3 = 8000 \cdot 3 = 24000\) рублей. 2022 год: \(P_{2022} = P_{2021} \cdot 3 = 24000 \cdot 3 = 72000\) рублей. 2023 год: \(P_{2023} = P_{2022} \cdot 3 = 72000 \cdot 3 = 216000\) рублей. 2024 год: \(P_{2024} = P_{2023} \cdot 3 = 216000 \cdot 3 = 648000\) рублей. Можно также использовать формулу для геометрической прогрессии: \(P_n = P_0 \cdot q^n\), где \(P_0\) - начальная сумма, \(q\) - множитель увеличения, \(n\) - количество лет. В нашем случае \(P_0 = 8000\), \(q = 3\). Количество лет от 2020 до 2024: \(2024 - 2020 = 4\) года. Значит, \(n = 4\). \(P_{2024} = 8000 \cdot 3^4\) \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81\) \(P_{2024} = 8000 \cdot 81\) \(P_{2024} = 648000\) Ответ: 648000

15. В треугольнике \(ABC\) провели медиану \(BM\). Найди длину отрезка \(MC\), если \(AC = 46\). Решение: Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае, \(BM\) - медиана, проведенная из вершины \(B\) к стороне \(AC\). Это означает, что точка \(M\) является серединой стороны \(AC\). Следовательно, отрезок \(AC\) делится точкой \(M\) на два равных отрезка: \(AM\) и \(MC\). То есть, \(AM = MC\). Нам известна длина всей стороны \(AC = 46\). Так как \(M\) - середина \(AC\), то длина отрезка \(MC\) будет равна половине длины \(AC\). \[MC = \frac{AC}{2}\] \[MC = \frac{46}{2}\] \[MC = 23\] Ответ: 23

16. Найди радиус окружности, в которую вписан прямоугольный треугольник \(ABC\), где \(\angle B = 90^\circ\), \(AB = 21\), \(BC = 12\sqrt{2}\). Решение: Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза является диаметром этой окружности. В данном треугольнике \(ABC\), угол \(\angle B = 90^\circ\), значит, \(AC\) - гипотенуза. Найдем длину гипотенузы \(AC\) по теореме Пифагора: \[AC^2 = AB^2 + BC^2\] \[AC^2 = 21^2 + (12\sqrt{2})^2\] \[AC^2 = 441 + (144 \cdot 2)\] \[AC^2 = 441 + 288\] \[AC^2 = 729\] \[AC = \sqrt{729}\] Чтобы найти \(\sqrt{729}\), можно заметить, что \(20^2 = 400\), \(30^2 = 900\). Число заканчивается на 9, значит, корень может заканчиваться на 3 или 7. Проверим \(27^2\): \(27 \cdot 27 = (30 - 3)(30 - 3) = 900 - 180 + 9 = 729\). Значит, \(AC = 27\). Гипотенуза \(AC\) является диаметром окружности. Диаметр \(D = AC = 27\). Радиус окружности \(R\) равен половине диаметра: \[R = \frac{D}{2}\] \[R = \frac{27}{2}\] \[R = 13.5\] Ответ: 13.5

17. Дан параллелограмм \(ABCD\), площадь которого равна 154. Отрезок \(AE\) делит сторону \(BC\) пополам. Найди площадь четырёхугольника \(AECD\). Решение: 1. Площадь параллелограмма \(ABCD\) равна \(S_{ABCD} = 154\). 2. Отрезок \(AE\) делит сторону \(BC\) пополам, то есть \(E\) - середина \(BC\). В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \(BC = AD\). Так как \(E\) - середина \(BC\), то \(BE = EC = \frac{1}{2} BC\). Следовательно, \(EC = \frac{1}{2} AD\). 3. Рассмотрим треугольник \(ABE\). Его основание \(BE\) равно \(\frac{1}{2} BC\). Высота треугольника \(ABE\), опущенная из вершины \(A\) на прямую \(BC\), равна высоте параллелограмма, опущенной на сторону \(BC\). Обозначим эту высоту как \(h\). Площадь параллелограмма \(S_{ABCD} = BC \cdot h\). Площадь треугольника \(ABE\): \[S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot BE \cdot h\] \[S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} BC\right) \cdot h\] \[S_{ABE} = \frac{1}{4} \cdot BC \cdot h\] Так как \(BC \cdot h = S_{ABCD}\), то \[S_{ABE} = \frac{1}{4} S_{ABCD}\] \[S_{ABE} = \frac{1}{4} \cdot 154 = 38.5\] 4. Четырёхугольник \(AECD\) состоит из параллелограмма \(ABCD\) за вычетом треугольника \(ABE\). \[S_{AECD} = S_{ABCD} - S_{ABE}\] \[S_{AECD} = 154 - 38.5\] \[S_{AECD} = 115.5\] Альтернативный способ: Четырёхугольник \(AECD\) является трапецией, так как \(AE\) не параллельна \(CD\), но \(AD\) параллельна \(EC\). Основания трапеции \(AECD\) - это \(AD\) и \(EC\). Высота трапеции \(AECD\) - это высота параллелограмма \(h\). Мы знаем, что \(EC = \frac{1}{2} BC\). Так как \(BC = AD\), то \(EC = \frac{1}{2} AD\). Пусть \(AD = a\). Тогда \(EC = \frac{a}{2}\). Площадь трапеции \(AECD\) вычисляется по формуле: \[S_{AECD} = \frac{AD + EC}{2} \cdot h\] \[S_{AECD} = \frac{a + \frac{a}{2}}{2} \cdot h\] \[S_{AECD} = \frac{\frac{3a}{2}}{2} \cdot h\] \[S_{AECD} = \frac{3a}{4} \cdot h\] Мы знаем, что площадь параллелограмма \(S_{ABCD} = AD \cdot h = a \cdot h = 154\). Значит, \(S_{AECD} = \frac{3}{4} (a \cdot h) = \frac{3}{4} S_{ABCD}\). \[S_{AECD} = \frac{3}{4} \cdot 154\] \[S_{AECD} = 3 \cdot \frac{154}{4}\] \[S_{AECD} = 3 \cdot 38.5\] \[S_{AECD} = 115.5\] Ответ: 115.5

18. На клетчатой поверхности с размером клетки \(1 \times 1\) изображена трапеция. Найди площадь этой трапеции. Решение: Для нахождения площади трапеции по клетчатой бумаге можно использовать формулу площади трапеции: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\] где \(a\) и \(b\) - длины оснований трапеции, \(h\) - высота трапеции. Посчитаем длины оснований и высоту по рисунку: Верхнее основание (a): Посчитаем количество клеток по верхней горизонтальной стороне. \(a = 4\) клетки. Нижнее основание (b): Посчитаем количество клеток по нижней горизонтальной стороне. \(b = 8\) клеток. Высота (h): Посчитаем количество клеток по вертикали между основаниями. \(h = 4\) клетки. Теперь подставим эти значения в формулу площади трапеции: \[S = \frac{4 + 8}{2} \cdot 4\] \[S = \frac{12}{2} \cdot 4\] \[S = 6 \cdot 4\] \[S = 24\] Площадь трапеции равна 24 квадратным единицам. Ответ: 24

19. Какие из следующих утверждений верны? 1) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов. 2) Средняя линия трапеции параллельна её основаниям. 3) Точка касания двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей. В ответе запиши номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Решение: Рассмотрим каждое утверждение по отдельности: 1) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов. Сумма углов треугольника равна 180 градусов. Если бы все углы треугольника были больше 60 градусов, например, каждый угол был бы 61 градус, то сумма углов была бы \(3 \cdot 61 = 183\) градуса, что противоречит свойству суммы углов треугольника. Значит, хотя бы один угол должен быть меньше или равен 60 градусам. Например, в равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам. В тупоугольном треугольнике один угол может быть больше 90 градусов, но тогда два других угла будут острыми и их сумма будет меньше 90 градусов, а значит, каждый из них будет меньше 60 градусов. В остроугольном треугольнике все углы острые. Если бы все углы были больше 60 градусов, то их сумма была бы больше 180 градусов. Таким образом, это утверждение верно. 2) Средняя линия трапеции параллельна её основаниям. Это одно из основных свойств средней линии трапеции. Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям. Таким образом, это утверждение верно. 3) Точка касания двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей. Рассмотрим две окружности, касающиеся друг друга. Пусть их центры \(O_1\) и \(O_2\), а радиусы \(R_1\) и \(R_2\). Точка касания \(K\) лежит на прямой, соединяющей центры \(O_1\) и \(O_2\). Расстояние от центра \(O_1\) до точки касания \(K\) равно радиусу \(R_1\). Расстояние от центра \(O_2\) до точки касания \(K\) равно радиусу \(R_2\). Точка касания будет равноудалена от центров только в том случае, если радиусы окружностей равны (\(R_1 = R_2\)). В общем случае это не так. Например, если одна окружность маленькая, а другая большая, то точка касания будет ближе к центру маленькой окружности и дальше от центра большой. Таким образом, это утверждение неверно. Верными являются утверждения 1 и 2. Ответ: 12

20. Реши уравнение \(x^2 - 8x + \sqrt{3x - 2} = 20 + \sqrt{3x - 2}\). Если корней несколько, в ответе запиши их в порядке возрастания без пробелов, например если \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 3\), то в ответе запиши 23. Решение: Дано уравнение: \[x^2 - 8x + \sqrt{3x - 2} = 20 + \sqrt{3x - 2}\] Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной \(x\). Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \(3x - 2 \geq 0\) \(3x \geq 2\) \(x \geq \frac{2}{3}\) Теперь упростим уравнение. Заметим, что с обеих сторон уравнения есть одинаковый член \(\sqrt{3x - 2}\). Его можно вычесть из обеих частей уравнения: \(x^2 - 8x + \sqrt{3x - 2} - \sqrt{3x - 2} = 20\) \(x^2 - 8x = 20\) Перенесем 20 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: \(x^2 - 8x - 20 = 0\) Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу дискриминанта. По теореме Виета: Сумма корней \(x_1 + x_2 = 8\) Произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = -20\) Подберем корни: числа 10 и -2 подходят. \(10 + (-2) = 8\) \(10 \cdot (-2) = -20\) Значит, корни уравнения: \(x_1 = -2\) и \(x_2 = 10\). Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ \(x \geq \frac{2}{3}\). Для \(x_1 = -2\): \(-2 \geq \frac{2}{3}\) - это неверно, так как \(-2\) меньше \(\frac{2}{3}\). Значит, \(x_1 = -2\) не является решением исходного уравнения. Для \(x_2 = 10\): \(10 \geq \frac{2}{3}\) - это верно. Значит, \(x_2 = 10\) является решением исходного уравнения. Уравнение имеет только один корень \(x = 10\). В ответе нужно записать корни в порядке возрастания без пробелов. Так как корень один, просто записываем его. Ответ: 10

21. Свежие персики содержат 92% воды, а сушёные — 35%. Какая масса сушёных персиков получится из 312 кг свежих персиков? Ответ дай в кг. Решение: 1. Определим массу "сухого вещества" в свежих персиках. Свежие персики содержат 92% воды, значит, сухое вещество составляет \(100\% - 92\% = 8\%\) от общей массы. Масса сухого вещества в 312 кг свежих персиков: Масса сухого вещества \( = 312 \text{ кг} \cdot 0.08\) Масса сухого вещества \( = 24.96 \text{ кг}\) 2. Определим, сколько сухого вещества содержится в сушёных персиках. Сушёные персики содержат 35% воды, значит, сухое вещество составляет \(100\% - 35\% = 65\%\) от общей массы сушёных персиков. 3. Пусть \(M_{суш}\) - масса сушёных персиков. Мы знаем, что 65% от массы сушёных персиков - это масса сухого вещества, которая не меняется при сушке. Значит, \(0.65 \cdot M_{суш} = 24.96 \text{ кг}\) 4. Найдем \(M_{суш}\): \[M_{суш} = \frac{24.96}{0.65}\] \[M_{суш} = \frac{2496}{65}\] Выполним деление: \(2496 \div 65\) \(249 \div 65 = 3\) (остаток \(249 - 195 = 54\)) \(546 \div 65 = 8\) (так как \(65 \cdot 8 = 520\), остаток \(546 - 520 = 26\)) \(260 \div 65 = 4\) (так как \(65 \cdot 4 = 260\)) Значит, \(M_{суш} = 38.4\) кг. Ответ: 38.4

22. Построй график функции \(y = \frac{(x^2 - 9)(x + 2)}{-x - 2}\) и определи, при каком значении \(k\) прямая \(y = kx\) имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Решение: 1. Упростим выражение для функции: \[y = \frac{(x^2 - 9)(x + 2)}{-x - 2}\] Заметим, что \(x^2 - 9\) можно разложить как разность квадратов: \((x - 3)(x + 3)\). Знаменатель \(-x - 2\) можно записать как \(-(x + 2)\). Тогда функция примет вид: \[y = \frac{(x - 3)(x + 3)(x + 2)}{-(x + 2)}\] 2. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю: \(-(x + 2) \neq 0\) \(x + 2 \neq 0\) \(x \neq -2\) Это означает, что в точке \(x = -2\) функция не определена, и на графике будет "выколотая" точка. 3. Сократим дробь на \((x + 2)\), учитывая ОДЗ: \[y = \frac{(x - 3)(x + 3)\cancel{(x + 2)}}{-\cancel{(x + 2)}}\] \[y = -(x - 3)(x + 3)\] \[y = -(x^2 - 9)\] \[y = -x^2 + 9\] 4. График функции \(y = -x^2 + 9\) - это парабола, ветви которой направлены вниз (из-за коэффициента \(-1\) при \(x^2\)). Вершина параболы находится в точке \((0; 9)\). Точки пересечения с осью \(x\): \(-x^2 + 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\). Точки пересечения с осью \(y\): \(y = -0^2 + 9 = 9\). 5. На графике этой параболы должна быть "выколотая" точка при \(x = -2\). Найдем координату \(y\) для этой точки: \(y = -(-2)^2 + 9 = -4 + 9 = 5\). Значит, на графике параболы \(y = -x^2 + 9\) будет выколота точка \((-2; 5)\). 6. Теперь рассмотрим прямую \(y = kx\). Эта прямая всегда проходит через начало координат \((0; 0)\). Нам нужно найти такое значение \(k\), при котором прямая \(y = kx\) имеет ровно одну общую точку с графиком функции \(y = -x^2 + 9\), из которого выколота точка \((-2; 5)\). Возможные случаи для одной общей точки: а) Прямая касается параболы. б) Прямая пересекает параболу в двух точках, но одна из этих точек совпадает с выколотой точкой. в) Прямая пересекает параболу в одной точке (например, если вершина параболы лежит на прямой, но это не так, так как \(0 \neq k \cdot 9\)). Найдем точки пересечения прямой \(y = kx\) и параболы \(y = -x^2 + 9\): \(kx = -x^2 + 9\) \(x^2 + kx - 9 = 0\) Для того чтобы прямая касалась параболы, квадратное уравнение должно иметь ровно одно решение. Это происходит, когда дискриминант равен нулю. \(D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = k^2 + 36\) \(D = 0 \Rightarrow k^2 + 36 = 0 \Rightarrow k^2 = -36\). Это уравнение не имеет действительных решений для \(k\). Значит, прямая \(y = kx\) никогда не касается параболы \(y = -x^2 + 9\). Она всегда пересекает ее в двух точках (так как \(D = k^2 + 36 > 0\) для любого действительного \(k\)). Следовательно, единственная возможность для одной общей точки - это когда одна из двух точек пересечения совпадает с выколотой точкой \((-2; 5)\). Если прямая \(y = kx\) проходит через выколотую точку \((-2; 5)\), то эта точка не будет считаться общей точкой графика функции. Подставим координаты выколотой точки \((-2; 5)\) в уравнение прямой \(y = kx\): \(5 = k \cdot (-2)\) \(k = -\frac{5}{2}\) \(k = -2.5\) При \(k = -2.5\), прямая \(y = -2.5x\) проходит через точку \((-2; 5)\). Теперь проверим, сколько точек пересечения имеет прямая \(y = -2.5x\) с параболой \(y = -x^2 + 9\). Подставим \(k = -2.5\) в уравнение \(x^2 + kx - 9 = 0\): \(x^2 - 2.5x - 9 = 0\) Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: \(2x^2 - 5x - 18 = 0\) Найдем дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169\) \(\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13\) Корни уравнения: \(x_1 = \frac{-(-5) - 13}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 13}{4} = \frac{-8}{4} = -2\) \(x_2 = \frac{-(-5) + 13}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 13}{4} = \frac{18}{4} = 4.5\) Таким образом, при \(k = -2.5\), прямая \(y = -2.5x\) пересекает параболу в точках с \(x = -2\) и \(x = 4.5\). Точка с \(x = -2\) - это выколотая точка \((-2; 5)\), поэтому она не является общей точкой графика функции. Точка с \(x = 4.5\): \(y = -2.5 \cdot 4.5 = -11.25\). Эта точка \((4.5; -11.25)\) является единственной общей точкой прямой и графика функции. Значит, при \(k = -2.5\) прямая \(y = kx\) имеет ровно одну общую точку с графиком функции. Ответ: -2.5

23. В равнобедренной трапеции с основаниями, равными 13 и 31, известен периметр: \(P = 74\). Найди площадь этой трапеции. Решение: 1. Обозначим основания трапеции как \(a\) и \(b\), а боковые стороны как \(c\). Дано: \(a = 13\) (меньшее основание) \(b = 31\) (большее основание) \(P = 74\) (периметр) Трапеция равнобедренная, значит, боковые стороны равны: \(c_1 = c_2 = c\). 2. Найдем длину боковой стороны \(c\). Периметр трапеции: \(P = a + b + 2c\) \(74 = 13 + 31 + 2c\) \(74 = 44 + 2c\) \(2c = 74 - 44\) \(2c = 30\) \(c = 15\) 3. Для нахождения площади трапеции нужна высота \(h\). Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Пусть эти высоты делят большее основание на три отрезка. Крайние отрезки будут равны, так как трапеция равнобедренная. Длина каждого из этих крайних отрезков \(x\) вычисляется по формуле: \[x = \frac{b - a}{2}\] \[x = \frac{31 - 13}{2}\] \[x = \frac{18}{2}\] \[x = 9\] 4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной \(c\), высотой \(h\) и отрезком \(x\). По теореме Пифагора: \(c^2 = h^2 + x^2\) Мы знаем \(c = 15\) и \(x = 9\). \(15^2 = h^2 + 9^2\) \(225 = h^2 + 81\) \(h^2 = 225 - 81\) \(h^2 = 144\) \(h = \sqrt{144}\) \(h = 12\) 5. Найдем площадь трапеции по формуле: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\] \[S = \frac{13 + 31}{2} \cdot 12\] \[S = \frac{44}{2} \cdot 12\] \[S = 22 \cdot 12\] \[S = 264\] Ответ: 264

25. В остроугольном треугольнике \(ABC\) есть высота \(AH\) и биссектриса \(BM\). Точка пересечения биссектрисы \(BM\) и высоты \(AH\) делит высоту в соотношении \(5 : 3\), считая от точки \(A\). Определи значение радиуса окружности, описанной около данного треугольника, если \(AC = 24\). Решение: 1. Пусть \(P\) - точка пересечения высоты \(AH\) и биссектрисы \(BM\). Дано, что \(AP : PH = 5 : 3\). Это означает, что \(AP = 5k\) и \(PH = 3k\) для некоторого \(k\). Тогда вся высота \(AH = AP + PH = 5k + 3k = 8k\). 2. Биссектриса \(BM\) делит угол \(B\) на два равных угла. В треугольнике \(ABH\), \(BP\) является биссектрисой угла \(B\) (точнее, частью биссектрисы \(BM\)). По свойству биссектрисы треугольника (для треугольника \(ABH\) и биссектрисы \(BP\)): \[\frac{AP}{PH} = \frac{AB}{BH}\] \[\frac{5}{3} = \frac{AB}{BH}\] Значит, \(AB = 5x\) и \(BH = 3x\) для некоторого \(x\). 3. В прямоугольном треугольнике \(ABH\) (так как \(AH\) - высота), по теореме Пифагора: \(AB^2 = AH^2 + BH^2\) \((5x)^2 = (8k)^2 + (3x)^2\) \(25x^2 = 64k^2 + 9x^2\) \(16x^2 = 64k^2\) \(x^2 = 4k^2\) \(x = 2k\) (так как длины отрезков положительны) 4. Теперь мы можем выразить стороны треугольника \(ABH\) через \(k\): \(AB = 5x = 5(2k) = 10k\) \(BH = 3x = 3(2k) = 6k\) \(AH = 8k\) 5. Рассмотрим треугольник \(ABC\). Мы знаем \(AB = 10k\). Мы знаем \(AC = 24\). Нам нужно найти радиус описанной окружности \(R\). Формула для радиуса описанной окружности: \[R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}\] или \[R = \frac{abc}{4S}\] где \(a, b, c\) - стороны треугольника, \(S\) - его площадь. 6. Найдем \(\cos B\) в прямоугольном треугольнике \(ABH\): \[\cos B = \frac{BH}{AB} = \frac{6k}{10k} = \frac{3}{5}\] Так как треугольник остроугольный, \(\sin B\) будет положительным. \[\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\] 7. Теперь мы можем использовать теорему синусов для нахождения \(R\). \[R = \frac{AC}{2\sin B}\] \[R = \frac{24}{2 \cdot \frac{4}{5}}\] \[R = \frac{24}{\frac{8}{5}}\] \[R = 24 \cdot \frac{5}{8}\] \[R = 3 \cdot 5\] \[R = 15\] Ответ: 15