Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику.
Контрольная работа
В-2
1. Определить истинность формулы
а. \( \neg (A \lor C) \to ((\neg B \lor C) \land (\neg A)) \)
Для определения истинности формулы необходимо рассмотреть все возможные комбинации значений истинности для переменных \(A\), \(B\), \(C\). Построим таблицу истинности.
| \(A\) |
\(B\) |
\(C\) |
\(A \lor C\) |
\( \neg (A \lor C) \) |
\( \neg B \) |
\( \neg B \lor C \) |
\( \neg A \) |
\( (\neg B \lor C) \land (\neg A) \) |
\( \neg (A \lor C) \to ((\neg B \lor C) \land (\neg A)) \) |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
| 0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
| 0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
| 1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
| 1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
| 1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Вывод: Формула не является тождественно истинной (тавтологией), так как при \(A=0, B=1, C=0\) она принимает значение 0 (ложно).
2. Записать формулу по схеме
Схема:
Вход A поступает на НЕ.
Вход B поступает на НЕ.
Выход из НЕ (от A) и вход C поступают на ИЛИ.
Выход из НЕ (от B) и вход C поступают на ИЛИ.
Выход из первого ИЛИ и выход из второго ИЛИ поступают на ИЛИ.
Выход из последнего ИЛИ и вход F поступают на И.
Выход из И и вход F поступают на И.
Похоже, что схема имеет некоторые неточности в обозначениях F, так как F обычно является результатом, а не входом. Предположим, что F - это выход всей схемы.
Давайте проанализируем схему по шагам:
1. \( \neg A \)
2. \( \neg B \)
3. \( (\neg A) \lor C \)
4. \( (\neg B) \lor C \)
5. \( ((\neg A) \lor C) \lor ((\neg B) \lor C) \)
6. Далее, если F - это промежуточный результат, а не вход, то:
\( ( ((\neg A) \lor C) \lor ((\neg B) \lor C) ) \land F_{вход} \)
Или, если F - это выход, то схема заканчивается на:
\( ( ((\neg A) \lor C) \lor ((\neg B) \lor C) ) \)
Исходя из типичных обозначений логических схем, где F - это конечный выход, и учитывая, что F появляется дважды как вход в И, это может быть ошибка в схеме или F обозначает что-то другое.
Предположим, что F - это конечный выход, и последние два элемента "И" относятся к предыдущим результатам.
Тогда:
Первый блок: \( \neg A \)
Второй блок: \( \neg B \)
Третий блок: \( (\neg A) \lor C \)
Четвертый блок: \( (\neg B) \lor C \)
Пятый блок: \( ((\neg A) \lor C) \lor ((\neg B) \lor C) \)
Шестой блок (И): \( ( ((\neg A) \lor C) \lor ((\neg B) \lor C) ) \land X \) (где X - это что-то, что подается на второй вход И)
Седьмой блок (И): \( ( ( ((\neg A) \lor C) \lor ((\neg B) \lor C) ) \land X ) \land Y \) (где Y - это что-то, что подается на второй вход И)
Если предположить, что F - это выход, и стрелки указывают на него, то:
Выход первого ИЛИ: \( X_1 = (\neg A) \lor C \)
Выход второго ИЛИ: \( X_2 = (\neg B) \lor C \)
Выход третьего ИЛИ: \( X_3 = X_1 \lor X_2 = ((\neg A) \lor C) \lor ((\neg B) \lor C) \)
Выход первого И: \( X_4 = X_3 \land F_{вход\_1} \)
Выход второго И: \( F = X_4 \land F_{вход\_2} \)
Если F - это конечный результат, а не вход, то схема выглядит так:
\( F = ( ((\neg A) \lor C) \lor ((\neg B) \lor C) ) \land X \land Y \)
Где X и Y - это какие-то другие входы, обозначенные как F на схеме.
Если же F - это просто обозначение для выхода, то последние два элемента "И" не имеют второго входа.
Давайте предположим, что F - это выход, и на входы "И" подаются результаты предыдущих операций.
Тогда:
1. \( \neg A \)
2. \( \neg B \)
3. \( X_1 = (\neg A) \lor C \)
4. \( X_2 = (\neg B) \lor C \)
5. \( X_3 = X_1 \lor X_2 = ((\neg A) \lor C) \lor ((\neg B) \lor C) \)
6. На схеме видно, что выход \( X_3 \) подается на первый вход элемента "И". Второй вход этого "И" обозначен как F. Это очень странно.
7. Далее, выход этого "И" подается на первый вход следующего "И". Второй вход этого "И" также обозначен как F.
Возможно, F - это некий внешний вход, который конъюнктивно связывается с результатом.
Тогда формула будет:
\( F = ( ((\neg A) \lor C) \lor ((\neg B) \lor C) ) \land F_{вход\_1} \land F_{вход\_2} \)
Если же F - это просто обозначение для выхода, то последние два элемента "И" не имеют смысла без второго входа.
Предположим, что F - это конечный выход, и стрелки, идущие к F, показывают, что F является результатом.
Тогда, если F - это выход, то последние два элемента "И" должны иметь второй вход.
Если F - это выход, то схема заканчивается на:
\( F = ( ((\neg A) \lor C) \lor ((\neg B) \lor C) ) \)
Но тогда элементы "И" не используются.
Давайте предположим, что F - это некий внешний вход, который конъюнктивно связывается с результатом.
Тогда формула будет:
\( F_{выход} = ( ((\neg A) \lor C) \lor ((\neg B) \lor C) ) \land F_{вход\_1} \land F_{вход\_2} \)
Это наиболее логичное объяснение, если F - это вход.
Если же F - это выход, то схема должна быть перерисована.
Предположим, что F - это выход, и последние два элемента "И" не имеют второго входа, что является ошибкой в схеме.
Тогда формула будет:
\( F = ((\neg A) \lor C) \lor ((\neg B) \lor C) \)
Давайте выберем наиболее вероятный вариант, что F - это выход, и последние два элемента "И" не имеют второго входа, что является ошибкой в схеме.
Тогда формула:
\( F = ((\neg A) \lor C) \lor ((\neg B) \lor C) \)
3. Приведите к логической формуле следующие высказывания:
а. солнце не светит, пасмурная погода;
б. без каски нельзя появляться на стройке;
в. переходить улицу необходимо на зеленый свет.
а. Пусть \(S\) - "солнце светит", \(P\) - "пасмурная погода".
"Солнце не светит" - \( \neg S \).
"Пасмурная погода" - \( P \).
Союз "запятая" в данном контексте обычно означает "и".
Формула: \( \neg S \land P \)
б. Пусть \(K\) - "есть каска", \(S\) - "появляться на стройке".
"Без каски" - \( \neg K \).
"Нельзя появляться на стройке" - \( \neg S \).
Это высказывание можно интерпретировать как: "Если нет каски, то нельзя появляться на стройке".
Формула: \( \neg K \to \neg S \)
Или, что эквивалентно: "Если появляешься на стройке, то должна быть каска".
Формула: \( S \to K \)
в. Пусть \(Z\) - "зеленый свет", \(U\) - "переходить улицу".
"Переходить улицу необходимо на зеленый свет" означает, что если ты переходишь улицу, то свет должен быть зеленым.
Формула: \( U \to Z \)
4. Выполните логическую схему по формуле:
а. \( F = ((A \lor (\neg B)) \land C) \lor ((\neg A \lor C) \land (\neg B)) \)
Построим логическую схему по данной формуле.
1. Первая часть формулы: \( (A \lor (\neg B)) \land C \)
* Элемент НЕ для \(B\): \( \neg B \)
* Элемент ИЛИ для \(A\) и \( \neg B \): \( A \lor (\neg B) \)
* Элемент И для \( (A \lor (\neg B)) \) и \(C\): \( (A \lor (\neg B)) \land C \)
2. Вторая часть формулы: \( ((\neg A \lor C) \land (\neg B)) \)
* Элемент НЕ для \(A\): \( \neg A \)
* Элемент ИЛИ для \( \neg A \) и \(C\): \( \neg A \lor C \)
* Элемент НЕ для \(B\): \( \neg B \)
* Элемент И для \( (\neg A \lor C) \) и \( \neg B \): \( (\neg A \lor C) \land (\neg B) \)
3. Конечный элемент ИЛИ для результатов первой и второй частей:
\( F = ((A \lor (\neg B)) \land C) \lor ((\neg A \lor C) \land (\neg B)) \)
Схема будет выглядеть следующим образом:
Входы: A, B, C
1. Блок для \( \neg B \):
B --[НЕ]-- \( \neg B \)
2. Блок для \( A \lor (\neg B) \):
A --[ИЛИ]-- \( A \lor (\neg B) \)
\( \neg B \) --/
3. Блок для \( (A \lor (\neg B)) \land C \):
\( A \lor (\neg B) \) --[И]-- \( ((A \lor (\neg B)) \land C) \)
C --/
4. Блок для \( \neg A \):
A --[НЕ]-- \( \neg A \)
5. Блок для \( \neg A \lor C \):
\( \neg A \) --[ИЛИ]-- \( \neg A \lor C \)
C --/
6. Блок для \( (\neg A \lor C) \land (\neg B) \):
\( \neg A \lor C \) --[И]-- \( ((\neg A \lor C) \land (\neg B)) \)
\( \neg B \) (из п.1) --/
7. Конечный блок для \( F \):
\( ((A \lor (\neg B)) \land C) \) (из п.3) --[ИЛИ]-- F
\( ((\neg A \lor C) \land (\neg B)) \) (из п.6) --/
(Нарисовать схему здесь невозможно, но это описание шагов для её построения.)
5. Приведите таблицы истинности дизъюнкции, поясните, когда и почему она может быть ложна.
Дизъюнкция (логическое ИЛИ) - это логическая операция, которая возвращает истину, если хотя бы один из операндов истинен. Обозначается символом \( \lor \).
Таблица истинности для дизъюнкции \( A \lor B \):
| \(A\) |
\(B\) |
\(A \lor B\) |
| 0 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
1 |
| 1 |
1 |
1 |
Пояснение:
Дизъюнкция \( A \lor B \) может быть ложна (принимает значение 0) только в одном случае:
* Когда оба операнда \(A\) и \(B\) ложны (принимают значение 0).
Во всех остальных случаях, когда хотя бы один из операндов \(A\) или \(B\) истинен (принимает значение 1), дизъюнкция \( A \lor B \) будет истинной.
Пример:
Высказывание "Я пойду в кино или я пойду гулять".
* Если я не пойду в кино (ложно) И не пойду гулять (ложно), то все высказывание "Я пойду в кино или я пойду гулять" будет ложным.
* Если я пойду в кино (истинно) И не пойду гулять (ложно), то все высказывание будет истинным.
* Если я не пойду в кино (ложно) И пойду гулять (истинно), то все высказывание будет истинным.
* Если я пойду в кино (истинно) И пойду гулять (истинно), то все высказывание будет истинным.
