Задача 2
Дано:
Усеченный конус.
Высота верхнего конуса (отсеченного) \(SO_1 = 6\).
Высота усеченного конуса \(OO_1 = 6\).
Радиус нижнего основания \(OB = 16\).
Найти:
Площадь боковой поверхности усеченного конуса, деленную на \(\pi\).
То есть, найти \(\frac{S_{бок. ус.к.}}{\pi}\).
Решение:
1. Обозначим высоту всего большого конуса как \(H\). Она состоит из высоты отсеченного конуса и высоты усеченного конуса:
\[H = SO_1 + OO_1\] \[H = 6 + 6 = 12\]2. Обозначим радиус верхнего основания усеченного конуса (радиус отсеченного конуса) как \(r\). Обозначим радиус нижнего основания усеченного конуса как \(R\). Из условия \(OB = 16\), значит \(R = 16\).
3. Рассмотрим осевое сечение конуса. Это два подобных треугольника: маленький треугольник, соответствующий отсеченному конусу, и большой треугольник, соответствующий всему конусу.
Из подобия треугольников следует отношение:
\[\frac{r}{R} = \frac{SO_1}{H}\] \[\frac{r}{16} = \frac{6}{12}\] \[\frac{r}{16} = \frac{1}{2}\] \[r = \frac{16}{2}\] \[r = 8\]4. Найдем образующую большого конуса \(L\). Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \(H\), радиусом \(R\) и образующей \(L\). По теореме Пифагора:
\[L^2 = H^2 + R^2\] \[L^2 = 12^2 + 16^2\] \[L^2 = 144 + 256\] \[L^2 = 400\] \[L = \sqrt{400}\] \[L = 20\]5. Найдем образующую отсеченного конуса \(l\). Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \(SO_1\), радиусом \(r\) и образующей \(l\). По теореме Пифагора:
\[l^2 = SO_1^2 + r^2\] \[l^2 = 6^2 + 8^2\] \[l^2 = 36 + 64\] \[l^2 = 100\] \[l = \sqrt{100}\] \[l = 10\]6. Площадь боковой поверхности усеченного конуса \(S_{бок. ус.к.}\) вычисляется по формуле:
\[S_{бок. ус.к.} = \pi (R + r) \cdot (L - l)\]Здесь \(L - l\) - это образующая усеченного конуса. Обозначим её \(L_{ус.к.}\). Тогда \(L_{ус.к.} = L - l = 20 - 10 = 10\).
Подставим значения:
\[S_{бок. ус.к.} = \pi (16 + 8) \cdot 10\] \[S_{бок. ус.к.} = \pi \cdot 24 \cdot 10\] \[S_{бок. ус.к.} = 240\pi\]7. Нам нужно найти \(\frac{S_{бок. ус.к.}}{\pi}\):
\[\frac{S_{бок. ус.к.}}{\pi} = \frac{240\pi}{\pi}\] \[\frac{S_{бок. ус.к.}}{\pi} = 240\]Ответ:
240