Хорошо, давайте решим задачи из "Самостоятельной работы № 5. Тетраэдр и параллелепипед".
Начнем с Варианта 1.
Вариант 1
Задача 1
Сумма длин всех ребер параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равна 180 см. Найдите длину каждого ребра параллелепипеда, если \(AB : BC : CC_1 = 3 : 5 : 7\).
Решение:
Пусть длины ребер параллелепипеда будут \(a\), \(b\) и \(c\).
В параллелепипеде 12 ребер. Каждое из трех измерений (длина, ширина, высота) встречается 4 раза.
То есть, у нас есть 4 ребра длиной \(a\), 4 ребра длиной \(b\) и 4 ребра длиной \(c\).
Сумма длин всех ребер равна \(4a + 4b + 4c\).
По условию, \(4a + 4b + 4c = 180\) см.
Разделим обе части уравнения на 4:
\(a + b + c = 180 / 4\)
\(a + b + c = 45\) см.
Также дано отношение длин ребер: \(AB : BC : CC_1 = 3 : 5 : 7\).
Пусть \(AB = a\), \(BC = b\), \(CC_1 = c\).
Тогда \(a : b : c = 3 : 5 : 7\).
Мы можем записать это как:
\(a = 3x\)
\(b = 5x\)
\(c = 7x\)
где \(x\) - некоторый коэффициент пропорциональности.
Подставим эти выражения в уравнение \(a + b + c = 45\):
\(3x + 5x + 7x = 45\)
\(15x = 45\)
\(x = 45 / 15\)
\(x = 3\)
Теперь найдем длины каждого ребра:
\(a = 3x = 3 \cdot 3 = 9\) см
\(b = 5x = 5 \cdot 3 = 15\) см
\(c = 7x = 7 \cdot 3 = 21\) см
Ответ:
Длины ребер параллелепипеда равны 9 см, 15 см и 21 см.
Задача 2
В тетраэдре \(SABC\) на ребре \(AB\) выбрана точка \(K\) так, что \(AK : KB = 1 : 2\). Через точку \(K\) параллельно прямым \(BC\) и \(AS\) проведена плоскость. Постройте сечение и вычислите его периметр, если \(BC = 6\) см и \(AS = 9\) см.
Решение:
1. Построение сечения:
* Плоскость проходит через точку \(K\) и параллельна \(BC\). Значит, в плоскости сечения будет прямая, проходящая через \(K\) и параллельная \(BC\). Пусть эта прямая пересекает \(AC\) в точке \(M\). Треугольник \(AKM\) подобен треугольнику \(ABC\).
* Плоскость также параллельна \(AS\). Значит, в плоскости сечения будет прямая, проходящая через \(K\) и параллельная \(AS\). Пусть эта прямая пересекает \(SB\) в точке \(N\). Треугольник \(BKN\) подобен треугольнику \(BAS\).
* Через точку \(M\) (на \(AC\)) проведем прямую, параллельную \(AS\). Она пересечет \(SC\) в точке \(P\).
* Через точку \(N\) (на \(SB\)) проведем прямую, параллельную \(BC\). Она пересечет \(SC\) в точке \(P'\). Точки \(P\) и \(P'\) должны совпадать.
* Сечением является четырехугольник \(KMNP\).
2. Вычисление периметра:
* Дано \(AK : KB = 1 : 2\). Значит, \(AK = \frac{1}{3} AB\) и \(KB = \frac{2}{3} AB\).
* Рассмотрим треугольник \(ABC\). \(KM \parallel BC\). По теореме Фалеса (или подобию треугольников \(AKM\) и \(ABC\)):
\(AK / AB = AM / AC = KM / BC = 1 / 3\).
Значит, \(KM = \frac{1}{3} BC\).
Дано \(BC = 6\) см.
\(KM = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2\) см.
* Рассмотрим треугольник \(BAS\). \(KN \parallel AS\). По теореме Фалеса (или подобию треугольников \(BKN\) и \(BAS\)):
\(BK / BA = BN / BS = KN / AS = 2 / 3\).
Значит, \(KN = \frac{2}{3} AS\).
Дано \(AS = 9\) см.
\(KN = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6\) см.
* Рассмотрим треугольник \(ASC\). \(MP \parallel AS\). По теореме Фалеса (или подобию треугольников \(CMP\) и \(CAS\)):
\(CM / CA = CP / CS = MP / AS\).
Мы знаем, что \(AM / AC = 1 / 3\), значит \(CM / AC = 1 - 1 / 3 = 2 / 3\).
Тогда \(MP = \frac{2}{3} AS\).
\(MP = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6\) см.
* Рассмотрим треугольник \(SBC\). \(NP \parallel BC\). По теореме Фалеса (или подобию треугольников \(SNP\) и \(SBC\)):
\(SN / SB = SP / SC = NP / BC\).
Мы знаем, что \(BN / BS = 2 / 3\), значит \(SN / SB = 1 - 2 / 3 = 1 / 3\).
Тогда \(NP = \frac{1}{3} BC\).
\(NP = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2\) см.
* Периметр сечения \(KMNP\) равен \(KM + MN + NP + PK\).
Стороны \(MN\) и \(PK\) являются отрезками, соединяющими точки на разных ребрах.
Однако, поскольку плоскость параллельна \(BC\) и \(AS\), то \(KMNP\) является параллелограммом.
\(KM \parallel BC\) и \(NP \parallel BC\), значит \(KM \parallel NP\).
\(KN \parallel AS\) и \(MP \parallel AS\), значит \(KN \parallel MP\).
Таким образом, \(KMNP\) - параллелограмм.
Периметр параллелограмма \(P = 2 \cdot (KM + KN)\).
\(P = 2 \cdot (2 + 6) = 2 \cdot 8 = 16\) см.
Ответ:
Периметр сечения равен 16 см.
Задача 3
В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром, равным \(a\), через диагональ основания \(AC\) и вершину \(B_1\) проведено сечение. Найдите площадь сечения и площадь поверхности куба.
Решение:
1. Площадь поверхности куба:
Куб имеет 6 одинаковых граней, каждая из которых является квадратом со стороной \(a\).
Площадь одной грани \(S_{грани} = a^2\).
Площадь поверхности куба \(S_{пов} = 6 \cdot S_{грани} = 6a^2\).
2. Построение и площадь сечения:
Сечение проходит через точки \(A\), \(C\) и \(B_1\).
Соединим точки \(A\) и \(C\). Это диагональ основания \(ABCD\).
Соединим точки \(A\) и \(B_1\).
Соединим точки \(C\) и \(B_1\).
Полученное сечение - треугольник \(AB_1C\).
Найдем длины сторон этого треугольника:
* Сторона \(AC\): это диагональ квадрата \(ABCD\) со стороной \(a\).
По теореме Пифагора: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\).
\(AC = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\).
* Сторона \(AB_1\): это диагональ грани \(ABB_1A_1\).
По теореме Пифагора: \(AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\).
\(AB_1 = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\).
* Сторона \(CB_1\): это диагональ грани \(CBB_1C_1\).
По теореме Пифагора: \(CB_1^2 = CB^2 + BB_1^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\).
\(CB_1 = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\).
Все три стороны треугольника \(AB_1C\) равны \(a\sqrt{2}\).
Значит, треугольник \(AB_1C\) является равносторонним.
Площадь равностороннего треугольника со стороной \(s\) вычисляется по формуле: \(S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}\).
В нашем случае \(s = a\sqrt{2}\).
\(S_{сеч} = \frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\).
Ответ:
Площадь сечения равна \(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\).
Площадь поверхности куба равна \(6a^2\).
---
Вариант 2
Задача 1
Сумма длин всех ребер параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равна 336 см. Найдите длину каждого ребра параллелепипеда, если \(AB : BC : CC_1 = 5 : 7 : 9\).
Решение:
Пусть длины ребер параллелепипеда будут \(a\), \(b\) и \(c\).
Сумма длин всех ребер равна \(4a + 4b + 4c\).
По условию, \(4a + 4b + 4c = 336\) см.
Разделим обе части уравнения на 4:
\(a + b + c = 336 / 4\)
\(a + b + c = 84\) см.
Также дано отношение длин ребер: \(AB : BC : CC_1 = 5 : 7 : 9\).
Пусть \(AB = a\), \(BC = b\), \(CC_1 = c\).
Тогда \(a : b : c = 5 : 7 : 9\).
Мы можем записать это как:
\(a = 5x\)
\(b = 7x\)
\(c = 9x\)
где \(x\) - некоторый коэффициент пропорциональности.
Подставим эти выражения в уравнение \(a + b + c = 84\):
\(5x + 7x + 9x = 84\)
\(21x = 84\)
\(x = 84 / 21\)
\(x = 4\)
Теперь найдем длины каждого ребра:
\(a = 5x = 5 \cdot 4 = 20\) см
\(b = 7x = 7 \cdot 4 = 28\) см
\(c = 9x = 9 \cdot 4 = 36\) см
Ответ:
Длины ребер параллелепипеда равны 20 см, 28 см и 36 см.
Задача 2
В тетраэдре \(SABC\) на ребре \(AB\) выбрана точка \(K\) так, что \(AK : KB = 1 : 3\). Через точку \(K\) параллельно прямым \(BC\) и \(AS\) проведена плоскость. Постройте сечение и вычислите его периметр, если \(BC = 8\) см и \(AS = 4\) см.
Решение:
1. Построение сечения:
* Плоскость проходит через точку \(K\) и параллельна \(BC\). Значит, в плоскости сечения будет прямая, проходящая через \(K\) и параллельная \(BC\). Пусть эта прямая пересекает \(AC\) в точке \(M\).
* Плоскость также параллельна \(AS\). Значит, в плоскости сечения будет прямая, проходящая через \(K\) и параллельная \(AS\). Пусть эта прямая пересекает \(SB\) в точке \(N\).
* Через точку \(M\) (на \(AC\)) проведем прямую, параллельную \(AS\). Она пересечет \(SC\) в точке \(P\).
* Через точку \(N\) (на \(SB\)) проведем прямую, параллельную \(BC\). Она пересечет \(SC\) в точке \(P'\). Точки \(P\) и \(P'\) должны совпадать.
* Сечением является четырехугольник \(KMNP\).
2. Вычисление периметра:
* Дано \(AK : KB = 1 : 3\). Значит, \(AK = \frac{1}{4} AB\) и \(KB = \frac{3}{4} AB\).
* Рассмотрим треугольник \(ABC\). \(KM \parallel BC\). По теореме Фалеса (или подобию треугольников \(AKM\) и \(ABC\)):
\(AK / AB = AM / AC = KM / BC = 1 / 4\).
Значит, \(KM = \frac{1}{4} BC\).
Дано \(BC = 8\) см.
\(KM = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2\) см.
* Рассмотрим треугольник \(BAS\). \(KN \parallel AS\). По теореме Фалеса (или подобию треугольников \(BKN\) и \(BAS\)):
\(BK / BA = BN / BS = KN / AS = 3 / 4\).
Значит, \(KN = \frac{3}{4} AS\).
Дано \(AS = 4\) см.
\(KN = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3\) см.
* Рассмотрим треугольник \(ASC\). \(MP \parallel AS\). По теореме Фалеса (или подобию треугольников \(CMP\) и \(CAS\)):
\(CM / CA = CP / CS = MP / AS\).
Мы знаем, что \(AM / AC = 1 / 4\), значит \(CM / AC = 1 - 1 / 4 = 3 / 4\).
Тогда \(MP = \frac{3}{4} AS\).
\(MP = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3\) см.
* Рассмотрим треугольник \(SBC\). \(NP \parallel BC\). По теореме Фалеса (или подобию треугольников \(SNP\) и \(SBC\)):
\(SN / SB = SP / SC = NP / BC\).
Мы знаем, что \(BN / BS = 3 / 4\), значит \(SN / SB = 1 - 3 / 4 = 1 / 4\).
Тогда \(NP = \frac{1}{4} BC\).
\(NP = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2\) см.
* Как и в предыдущей задаче, \(KMNP\) является параллелограммом, так как \(KM \parallel NP\) (обе параллельны \(BC\)) и \(KN \parallel MP\) (обе параллельны \(AS\)).
* Периметр параллелограмма \(P = 2 \cdot (KM + KN)\).
\(P = 2 \cdot (2 + 3) = 2 \cdot 5 = 10\) см.
Ответ:
Периметр сечения равен 10 см.
Задача 3
В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) через диагональ основания \(AC\) и вершину \(B_1\) проведено сечение. Найдите площадь сечения и длину диагонали куба, если длина ребра куба равна 6 см.
Решение:
1. Длина диагонали куба:
Длина ребра куба \(a = 6\) см.
Диагональ куба \(d\) вычисляется по формуле \(d = a\sqrt{3}\).
\(d = 6\sqrt{3}\) см.
2. Построение и площадь сечения:
Сечение проходит через точки \(A\), \(C\) и \(B_1\).
Это треугольник \(AB_1C\).
Найдем длины сторон этого треугольника:
* Сторона \(AC\): это диагональ квадрата \(ABCD\) со стороной \(a = 6\) см.
\(AC = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\) см.
* Сторона \(AB_1\): это диагональ грани \(ABB_1A_1\).
\(AB_1 = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\) см.
* Сторона \(CB_1\): это диагональ грани \(CBB_1C_1\).
\(CB_1 = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\) см.
Все три стороны треугольника \(AB_1C\) равны \(6\sqrt{2}\) см.
Значит, треугольник \(AB_1C\) является равносторонним.
Площадь равностороннего треугольника со стороной \(s\) вычисляется по формуле: \(S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}\).
В нашем случае \(s = 6\sqrt{2}\) см.
\(S_{сеч} = \frac{(6\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(36 \cdot 2)\sqrt{3}}{4} = \frac{72\sqrt{3}}{4} = 18\sqrt{3}\) см\(^2\).
Ответ:
Площадь сечения равна \(18\sqrt{3}\) см\(^2\).
Длина диагонали куба равна \(6\sqrt{3}\) см.
