4. Сократите дробь:
1) \[ \frac{a^{\frac{1}{2}} + 3}{a + 3a^{\frac{1}{2}}} \]
Для сокращения этой дроби, сначала вынесем общий множитель из знаменателя. Заметим, что \(a = (a^{\frac{1}{2}})^2\).
Знаменатель: \(a + 3a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} + 3a^{\frac{1}{2}}\).
Вынесем \(a^{\frac{1}{2}}\) за скобки: \(a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + 3)\).
Теперь подставим это обратно в дробь:
\[ \frac{a^{\frac{1}{2}} + 3}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + 3)} \]
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе \((a^{\frac{1}{2}} + 3)\):
\[ \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} \]
Ответ: \( \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} \) или \( \frac{1}{\sqrt{a}} \).
2) \[ \frac{b - 9}{b^{\frac{1}{2}} + 3} \]
Для сокращения этой дроби, заметим, что числитель \(b - 9\) можно представить как разность квадратов. Мы знаем, что \(b = (b^{\frac{1}{2}})^2\) и \(9 = 3^2\).
Тогда числитель: \(b - 9 = (b^{\frac{1}{2}})^2 - 3^2\).
Используем формулу разности квадратов \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\):
\((b^{\frac{1}{2}})^2 - 3^2 = (b^{\frac{1}{2}} - 3)(b^{\frac{1}{2}} + 3)\).
Теперь подставим это обратно в дробь:
\[ \frac{(b^{\frac{1}{2}} - 3)(b^{\frac{1}{2}} + 3)}{b^{\frac{1}{2}} + 3} \]
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе \((b^{\frac{1}{2}} + 3)\):
\[ b^{\frac{1}{2}} - 3 \]
Ответ: \( b^{\frac{1}{2}} - 3 \) или \( \sqrt{b} - 3 \).