Графическое решение системы уравнений: Контрольная работа №2, Вариант 1

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 Вариант 1 1. Решите графически систему уравнений \[ \begin{cases} (x - 2)^2 - y = 0, \\ x + y = 8. \end{cases} \] Решение: Для графического решения системы уравнений, нам нужно построить графики каждого уравнения и найти точки их пересечения. Первое уравнение: \( (x - 2)^2 - y = 0 \) Можно переписать как \( y = (x - 2)^2 \). Это парабола с вершиной в точке \( (2, 0) \). Для построения графика найдем несколько точек: Если \( x = 0 \), \( y = (0 - 2)^2 = (-2)^2 = 4 \). Точка \( (0, 4) \). Если \( x = 1 \), \( y = (1 - 2)^2 = (-1)^2 = 1 \). Точка \( (1, 1) \). Если \( x = 2 \), \( y = (2 - 2)^2 = 0^2 = 0 \). Точка \( (2, 0) \). Если \( x = 3 \), \( y = (3 - 2)^2 = 1^2 = 1 \). Точка \( (3, 1) \). Если \( x = 4 \), \( y = (4 - 2)^2 = 2^2 = 4 \). Точка \( (4, 4) \). Второе уравнение: \( x + y = 8 \) Можно переписать как \( y = 8 - x \). Это прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек: Если \( x = 0 \), \( y = 8 - 0 = 8 \). Точка \( (0, 8) \). Если \( x = 8 \), \( y = 8 - 8 = 0 \). Точка \( (8, 0) \). Если \( x = 3 \), \( y = 8 - 3 = 5 \). Точка \( (3, 5) \). Если \( x = 4 \), \( y = 8 - 4 = 4 \). Точка \( (4, 4) \). Теперь построим эти графики на одной координатной плоскости. (Здесь должен быть рисунок с графиками параболы \( y = (x - 2)^2 \) и прямой \( y = 8 - x \)). Построим график: 1. Начертите координатную плоскость с осями \(x\) и \(y\). 2. Отметьте точки для параболы: \( (0, 4), (1, 1), (2, 0), (3, 1), (4, 4) \). Соедините их плавной линией, чтобы получить параболу. 3. Отметьте точки для прямой: \( (0, 8), (8, 0), (4, 4) \). Проведите прямую через эти точки. Точки пересечения графиков: По графику видно, что графики пересекаются в двух точках: Точка 1: \( (4, 4) \) Точка 2: \( (1, 7) \) (Проверим: для \(x=1\), \(y=8-1=7\). Для параболы \(y=(1-2)^2=(-1)^2=1\). Значит, \( (1, 7) \) не является точкой пересечения. Давайте пересчитаем.) Давайте проверим алгебраически, чтобы убедиться в точности графического решения. Подставим \( y = 8 - x \) в первое уравнение: \( (x - 2)^2 - (8 - x) = 0 \) \( x^2 - 4x + 4 - 8 + x = 0 \) \( x^2 - 3x - 4 = 0 \) Решим квадратное уравнение: Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \). \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2} \) Два значения для \( x \): \( x_1 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) \( x_2 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \) Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \) из уравнения \( y = 8 - x \): Для \( x_1 = 4 \): \( y_1 = 8 - 4 = 4 \). Первая точка пересечения: \( (4, 4) \). Для \( x_2 = -1 \): \( y_2 = 8 - (-1) = 8 + 1 = 9 \). Вторая точка пересечения: \( (-1, 9) \). Итак, точки пересечения: \( (4, 4) \) и \( (-1, 9) \). При построении графика нужно убедиться, что эти точки отмечены правильно. Для \( x = -1 \), \( y = (-1 - 2)^2 = (-3)^2 = 9 \). Точка \( (-1, 9) \). Ответ: Решения системы: \( (4, 4) \) и \( (-1, 9) \). 2. Решите систему уравнений: а) \[ \begin{cases} xy = -2, \\ x - 2y = 5; \end{cases} \] Решение: Из второго уравнения выразим \( x \): \( x = 5 + 2y \) Подставим это выражение для \( x \) в первое уравнение: \( (5 + 2y)y = -2 \) \( 5y + 2y^2 = -2 \) Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( 2y^2 + 5y + 2 = 0 \) Решим квадратное уравнение для \( y \): Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \). \( y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4} \) Два значения для \( y \): \( y_1 = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \) \( y_2 = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \) Теперь найдем соответствующие значения \( x \) для каждого \( y \) из уравнения \( x = 5 + 2y \): Для \( y_1 = -\frac{1}{2} \): \( x_1 = 5 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 5 - 1 = 4 \). Первое решение: \( (4, -\frac{1}{2}) \). Для \( y_2 = -2 \): \( x_2 = 5 + 2 \cdot (-2) = 5 - 4 = 1 \). Второе решение: \( (1, -2) \). Ответ: Решения системы: \( (4, -\frac{1}{2}) \) и \( (1, -2) \). б) \[ \begin{cases} 2(x + y)^2 - 7(x + y) + 3 = 0, \\ 2x - 3y = -1. \end{cases} \] Решение: Введем замену переменной в первом уравнении. Пусть \( t = x + y \). Тогда первое уравнение примет вид: \( 2t^2 - 7t + 3 = 0 \) Решим это квадратное уравнение для \( t \): Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 \). \( t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4} \) Два значения для \( t \): \( t_1 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3 \) \( t_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) Теперь вернемся к замене \( t = x + y \). У нас получаются две системы уравнений: Система 1: \[ \begin{cases} x + y = 3, \\ 2x - 3y = -1. \end{cases} \] Из первого уравнения выразим \( x \): \( x = 3 - y \). Подставим во второе уравнение: \( 2(3 - y) - 3y = -1 \) \( 6 - 2y - 3y = -1 \) \( 6 - 5y = -1 \) \( -5y = -1 - 6 \) \( -5y = -7 \) \( y = \frac{-7}{-5} = \frac{7}{5} \) Найдем \( x \): \( x = 3 - y = 3 - \frac{7}{5} = \frac{15}{5} - \frac{7}{5} = \frac{8}{5} \) Первое решение: \( (\frac{8}{5}, \frac{7}{5}) \). Система 2: \[ \begin{cases} x + y = \frac{1}{2}, \\ 2x - 3y = -1. \end{cases} \] Из первого уравнения выразим \( x \): \( x = \frac{1}{2} - y \). Подставим во второе уравнение: \( 2\left(\frac{1}{2} - y\right) - 3y = -1 \) \( 1 - 2y - 3y = -1 \) \( 1 - 5y = -1 \) \( -5y = -1 - 1 \) \( -5y = -2 \) \( y = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5} \) Найдем \( x \): \( x = \frac{1}{2} - y = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10} \) Второе решение: \( (\frac{1}{10}, \frac{2}{5}) \). Ответ: Решения системы: \( (\frac{8}{5}, \frac{7}{5}) \) и \( (\frac{1}{10}, \frac{2}{5}) \). 3. Две трубы, действуя одновременно, заливают цистерну нефтью за 2 ч. За сколько часов заполняет цистерну первая труба, действуя отдельно, если ей для залива цистерны требуется на 3 ч меньше, чем другой? Решение: Пусть \( t_1 \) - время, за которое первая труба заполняет цистерну одна (в часах). Пусть \( t_2 \) - время, за которое вторая труба заполняет цистерну одна (в часах). Производительность первой трубы: \( \frac{1}{t_1} \) (часть цистерны в час). Производительность второй трубы: \( \frac{1}{t_2} \) (часть цистерны в час). По условию, две трубы, действуя одновременно, заливают цистерну за 2 часа. Значит, их общая производительность равна \( \frac{1}{2} \). Составим первое уравнение: \( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{2} \) По условию, первой трубе для залива цистерны требуется на 3 часа меньше, чем другой. Значит, \( t_1 = t_2 - 3 \). Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{2}, \\ t_1 = t_2 - 3. \end{cases} \] Подставим второе уравнение в первое: \( \frac{1}{t_2 - 3} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{2} \) Приведем левую часть к общему знаменателю: \( \frac{t_2 + (t_2 - 3)}{t_2(t_2 - 3)} = \frac{1}{2} \) \( \frac{2t_2 - 3}{t_2^2 - 3t_2} = \frac{1}{2} \) Теперь перемножим крест-на-крест: \( 2(2t_2 - 3) = 1(t_2^2 - 3t_2) \) \( 4t_2 - 6 = t_2^2 - 3t_2 \) Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( t_2^2 - 3t_2 - 4t_2 + 6 = 0 \) \( t_2^2 - 7t_2 + 6 = 0 \) Решим квадратное уравнение для \( t_2 \): Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 \). \( t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 5}{2} \) Два значения для \( t_2 \): \( t_{2,1} = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) \( t_{2,2} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) Теперь найдем соответствующие значения \( t_1 \) для каждого \( t_2 \) из уравнения \( t_1 = t_2 - 3 \): Для \( t_{2,1} = 6 \): \( t_{1,1} = 6 - 3 = 3 \). Это решение подходит, так как время не может быть отрицательным. Для \( t_{2,2} = 1 \): \( t_{1,2} = 1 - 3 = -2 \). Это решение не подходит, так как время не может быть отрицательным. Итак, первая труба заполняет цистерну за 3 часа, а вторая труба за 6 часов. Проверим: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \). Это соответствует условию, что вместе они заполняют за 2 часа. Вопрос задачи: "За сколько часов заполняет цистерну первая труба, действуя отдельно?" Ответ: Первая труба заполняет цистерну за 3 часа. 4. Постройте график уравнения \( (x^2 + y^2 - 8x)(x + y) = 0 \). Решение: Уравнение \( (x^2 + y^2 - 8x)(x + y) = 0 \) равносильно совокупности двух уравнений: 1) \( x^2 + y^2 - 8x = 0 \) 2) \( x + y = 0 \) Рассмотрим каждое уравнение отдельно. Уравнение 1: \( x^2 + y^2 - 8x = 0 \) Это уравнение окружности. Чтобы привести его к стандартному виду \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \), выделим полный квадрат для \( x \): \( (x^2 - 8x + 16) + y^2 - 16 = 0 \) \( (x - 4)^2 + y^2 = 16 \) Это уравнение окружности с центром в точке \( (4, 0) \) и радиусом \( R = \sqrt{16} = 4 \). Уравнение 2: \( x + y = 0 \) Это уравнение прямой линии. Можно переписать как \( y = -x \). Эта прямая проходит через начало координат \( (0, 0) \) и имеет наклон -1. Для построения графика найдем несколько точек: Если \( x = 0 \), \( y = 0 \). Точка \( (0, 0) \). Если \( x = 1 \), \( y = -1 \). Точка \( (1, -1) \). Если \( x = -1 \), \( y = 1 \). Точка \( (-1, 1) \). Теперь построим эти графики на одной координатной плоскости. (Здесь должен быть рисунок с графиком окружности \( (x - 4)^2 + y^2 = 16 \) и прямой \( y = -x \)). Построим график: 1. Начертите координатную плоскость с осями \(x\) и \(y\). 2. Для окружности: отметьте центр \( (4, 0) \). Отложите от центра 4 единицы вправо, влево, вверх и вниз, чтобы найти точки \( (8, 0), (0, 0), (4, 4), (4, -4) \). Начертите окружность, проходящую через эти точки. 3. Для прямой: отметьте точки \( (0, 0), (1, -1), (-1, 1) \). Проведите прямую через эти точки. График уравнения \( (x^2 + y^2 - 8x)(x + y) = 0 \) представляет собой объединение окружности \( (x - 4)^2 + y^2 = 16 \) и прямой \( y = -x \). Ответ: График уравнения состоит из окружности с центром \( (4, 0) \) и радиусом \( 4 \), а также прямой \( y = -x \).