Решение задачи: Напряженность и потенциал электрического поля

Вот ответы на вопросы из Варианта II, оформленные так, чтобы школьнику было удобно переписать в тетрадь. Вариант II 1. Напряженность электрического поля \(\vec{E}\). Потенциал электрического поля \(\varphi\). Теорема Гаусса. Напряженность электрического поля \(\vec{E}\) – это векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле и равная отношению силы, действующей на пробный точечный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда. Формула: \(\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}\), где \(\vec{F}\) – сила, действующая на заряд, \(q\) – величина пробного заряда. Единица измерения: Ньютон на Кулон (Н/Кл) или Вольт на метр (В/м). Потенциал электрического поля \(\varphi\) – это скалярная физическая величина, характеризующая энергетические свойства электрического поля и равная отношению потенциальной энергии пробного заряда, помещенного в данную точку поля, к величине этого заряда. Формула: \(\varphi = \frac{W_p}{q}\), где \(W_p\) – потенциальная энергия заряда, \(q\) – величина пробного заряда. Единица измерения: Вольт (В). Связь между напряженностью и потенциалом: \(\vec{E} = -\nabla\varphi\) (в общем случае) или \(E = -\frac{dU}{dr}\) (для одномерного случая). Теорема Гаусса (для электрического поля) – поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности. Формула: \(\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{вн}}{\varepsilon_0}\), где \(\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S}\) – поток вектора напряженности через замкнутую поверхность \(S\), \(Q_{вн}\) – суммарный заряд внутри поверхности, \(\varepsilon_0\) – электрическая постоянная. 2. Электрическое поле в проводнике. Емкость. Конденсаторы. Электрическое поле в проводнике: Внутри проводника, находящегося в электростатическом поле, напряженность электрического поля равна нулю (\(\vec{E} = 0\)). Это связано с тем, что свободные заряды в проводнике перемещаются под действием внешнего поля до тех пор, пока не создадут собственное поле, полностью компенсирующее внешнее. Поверхность проводника является эквипотенциальной, а линии напряженности электрического поля перпендикулярны поверхности проводника. Емкость (электрическая емкость) – это скалярная физическая величина, характеризующая способность проводника или системы проводников накапливать электрический заряд. Она равна отношению заряда, сообщенного проводнику, к изменению его потенциала. Формула: \(C = \frac{Q}{U}\), где \(Q\) – заряд, \(U\) – разность потенциалов (напряжение). Единица измерения: Фарад (Ф). Конденсаторы – это устройства, предназначенные для накопления электрического заряда и энергии электрического поля. Конденсатор состоит из двух проводящих обкладок, разделенных диэлектриком. Емкость плоского конденсатора: \(C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}\), где \(\varepsilon\) – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, \(\varepsilon_0\) – электрическая постоянная, \(S\) – площадь обкладок, \(d\) – расстояние между обкладками. Соединение конденсаторов: Параллельное: \(C_{общ} = C_1 + C_2 + \dots + C_n\) Последовательное: \(\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n}\) 3. Правила Кирхгофа. Правила Кирхгофа – это два закона, описывающие распределение токов и напряжений в разветвленных электрических цепях. Первое правило Кирхгофа (правило узлов): Алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю. Формула: \(\sum I_k = 0\). Это правило является следствием закона сохранения заряда. Токи, входящие в узел, обычно считаются положительными, а выходящие – отрицательными (или наоборот, главное – соблюдать единообразие). Второе правило Кирхгофа (правило контуров): В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех участках этого контура. Формула: \(\sum \mathcal{E}_k = \sum I_k R_k\). Это правило является следствием закона сохранения энергии. При обходе контура ЭДС источников и падения напряжения на резисторах учитываются со знаком "плюс", если направление обхода совпадает с направлением ЭДС или тока, и со знаком "минус" в противном случае. 4. Проводник с током в магнитном поле. Индукция магнитного поля \(\vec{B}\). Проводник с током в магнитном поле: На проводник с током, помещенный в магнитное поле, действует сила, называемая силой Ампера. Направление силы Ампера определяется правилом левой руки: если расположить левую руку так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали направление тока в проводнике, то отогнутый на 90 градусов большой палец покажет направление силы Ампера. Модуль силы Ампера: \(F_A = I L B \sin\alpha\), где \(I\) – сила тока в проводнике, \(L\) – длина активной части проводника, \(B\) – модуль индукции магнитного поля, \(\alpha\) – угол между направлением тока и вектором магнитной индукции. Индукция магнитного поля \(\vec{B}\) (вектор магнитной индукции) – это векторная физическая величина, являющаяся основной количественной характеристикой магнитного поля. Она определяет силу, действующую на движущийся заряд или проводник с током в магнитном поле. Направление вектора \(\vec{B}\) совпадает с направлением, которое указывает северный полюс магнитной стрелки, помещенной в данную точку поля. Единица измерения: Тесла (Тл). Определение через силу Ампера: \(B = \frac{F_A}{IL\sin\alpha}\). 5. Закон электромагнитной индукции Фарадея. ЭДС индукции. Система уравнений Максвелла. Закон электромагнитной индукции Фарадея: ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре, прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего этот контур. Формула: \(\mathcal{E}_и = -\frac{d\Phi}{dt}\), где \(\mathcal{E}_и\) – ЭДС индукции, \(\Phi\) – магнитный поток, \(t\) – время. Знак "минус" в формуле отражает правило Ленца, которое гласит: индукционный ток всегда имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшего этот ток. ЭДС индукции – это электродвижущая сила, возникающая в проводнике или замкнутом контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур. Она является причиной возникновения индукционного тока. Единица измерения: Вольт (В). Система уравнений Максвелла – это фундаментальные уравнения классической электродинамики, описывающие поведение электрических и магнитных полей, а также их взаимодействие с электрическими зарядами и токами. Они являются основой для понимания всех электромагнитных явлений, включая свет. Система состоит из четырех уравнений в дифференциальной или интегральной форме: 1. Закон Гаусса для электрического поля: Интегральная форма: \(\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{вн}}{\varepsilon_0}\) Дифференциальная форма: \(\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\) (Описывает связь электрического поля с электрическими зарядами.) 2. Закон Гаусса для магнитного поля: Интегральная форма: \(\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0\) Дифференциальная форма: \(\nabla \cdot \vec{B} = 0\) (Указывает на отсутствие магнитных монополей; магнитные линии всегда замкнуты.) 3. Закон Фарадея-Максвелла (закон электромагнитной индукции): Интегральная форма: \(\oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \vec{B} \cdot d\vec{S}\) Дифференциальная форма: \(\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\) (Описывает возникновение вихревого электрического поля при изменении магнитного поля.) 4. Закон Ампера-Максвелла (закон полного тока с током смещения): Интегральная форма: \(\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{вн} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \vec{E} \cdot d\vec{S}\) Дифференциальная форма: \(\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\) (Описывает возникновение магнитного поля как токами проводимости (\(\vec{j}\)), так и изменяющимся электрическим полем (ток смещения).) Где: \(\vec{E}\) – напряженность электрического поля \(\vec{B}\) – индукция магнитного поля \(\rho\) – объемная плотность заряда \(\vec{j}\) – плотность тока проводимости \(\varepsilon_0\) – электрическая постоянная \(\mu_0\) – магнитная постоянная \(\nabla \cdot\) – оператор дивергенции \(\nabla \times\) – оператор ротора \(\frac{\partial}{\partial t}\) – частная производная по времени \(\oint_S\) – интеграл по замкнутой поверхности \(\oint_L\) – интеграл по замкнутому контуру \(\int_S\) – интеграл по поверхности