Решим задачу по шагам.
Задача: Построить график функции \(f(x)\) на интервале \((-4, 8)\), если \(f(x) = -x+1\), \(x \in (0, 4)\), \(T=4\). Разложить функцию \(f(x)\) в ряд Фурье, вычислить значение суммы ряда \(S(x)\) в точке \(x=4\).
1. Построение графика функции
Функция \(f(x) = -x+1\) задана на интервале \((0, 4)\) и имеет период \(T=4\).
Это означает, что функция повторяется каждые 4 единицы.
Сначала построим график на основном интервале \((0, 4)\):
При \(x=0\), \(f(0) = -0+1 = 1\). (Точка \((0, 1)\), но не включена в интервал)
При \(x=4\), \(f(4) = -4+1 = -3\). (Точка \((4, -3)\), но не включена в интервал)
На интервале \((0, 4)\) это прямая линия, соединяющая точки \((0, 1)\) и \((4, -3)\).
Теперь используем периодичность \(T=4\) для построения графика на интервале \((-4, 8)\).
* На интервале \((0, 4)\): \(f(x) = -x+1\).
* На интервале \((4, 8)\): Функция повторяется. Чтобы найти значение \(f(x)\) на этом интервале, мы можем использовать \(f(x) = f(x-T)\).
То есть, \(f(x) = f(x-4)\).
Например, для \(x=4\), \(f(4)\) будет равно \(f(0)\) из следующего периода, то есть \(1\).
Для \(x=5\), \(f(5) = f(5-4) = f(1) = -1+1 = 0\).
Для \(x=8\), \(f(8) = f(8-4) = f(4)\) из следующего периода, то есть \(1\).
Таким образом, на интервале \((4, 8)\) график будет такой же, как на \((0, 4)\), но сдвинутый вправо на 4 единицы.
То есть, \(f(x) = -(x-4)+1 = -x+4+1 = -x+5\).
При \(x=4\), \(f(4) = -4+5 = 1\).
При \(x=8\), \(f(8) = -8+5 = -3\).
* На интервале \((-4, 0)\): Функция повторяется. Чтобы найти значение \(f(x)\) на этом интервале, мы можем использовать \(f(x) = f(x+T)\).
То есть, \(f(x) = f(x+4)\).
Например, для \(x=-4\), \(f(-4) = f(-4+4) = f(0)\) из следующего периода, то есть \(1\).
Для \(x=-2\), \(f(-2) = f(-2+4) = f(2) = -2+1 = -1\).
Для \(x=0\), \(f(0) = f(0+4) = f(4)\) из следующего периода, то есть \(-3\).
Таким образом, на интервале \((-4, 0)\) график будет такой же, как на \((0, 4)\), но сдвинутый влево на 4 единицы.
То есть, \(f(x) = -(x+4)+1 = -x-4+1 = -x-3\).
При \(x=-4\), \(f(-4) = -(-4)-3 = 4-3 = 1\).
При \(x=0\), \(f(0) = -0-3 = -3\).
График будет состоять из трех отрезков:
1. На \((-4, 0)\): прямая от \((-4, 1)\) до \((0, -3)\).
2. На \((0, 4)\): прямая от \((0, 1)\) до \((4, -3)\).
3. На \((4, 8)\): прямая от \((4, 1)\) до \((8, -3)\).
Важно отметить, что в точках разрыва (например, \(x=0, 4\)) функция не определена как одно значение. Сумма ряда Фурье в этих точках будет равна среднему арифметическому пределов функции слева и справа.
2. Разложение функции в ряд Фурье
Функция \(f(x)\) задана на интервале \((0, 4)\) с периодом \(T=4\).
Длина интервала \(2L = T = 4\), значит \(L=2\).
Ряд Фурье для функции с периодом \(2L\) имеет вид:
\[S(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right)\]
В нашем случае \(L=2\), поэтому:
\[S(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right)\]
Коэффициенты \(a_0, a_n, b_n\) вычисляются по формулам:
\[a_0 = \frac{1}{L} \int_{0}^{2L} f(x) dx\]
\[a_n = \frac{1}{L} \int_{0}^{2L} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx\]
\[b_n = \frac{1}{L} \int_{0}^{2L} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx\]
Подставляем \(L=2\) и \(f(x) = -x+1\) на интервале \((0, 4)\):
Вычисление \(a_0\):
\[a_0 = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} (-x+1) dx\]
\[a_0 = \frac{1}{2} \left[ -\frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{4}\]
\[a_0 = \frac{1}{2} \left( \left( -\frac{4^2}{2} + 4 \right) - \left( -\frac{0^2}{2} + 0 \right) \right)\]
\[a_0 = \frac{1}{2} \left( -\frac{16}{2} + 4 \right)\]
\[a_0 = \frac{1}{2} (-8 + 4)\]
\[a_0 = \frac{1}{2} (-4)\]
\[a_0 = -2\]
Вычисление \(a_n\):
\[a_n = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} (-x+1) \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx\]
Используем интегрирование по частям: \(\int u dv = uv - \int v du\).
Пусть \(u = -x+1\), \(dv = \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx\).
Тогда \(du = -dx\), \(v = \int \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx = \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\).
\[a_n = \frac{1}{2} \left[ (-x+1) \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right]_{0}^{4} - \frac{1}{2} \int_{0}^{4} \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) (-dx)\]
\[a_n = \frac{1}{2} \left[ (-x+1) \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right]_{0}^{4} + \frac{1}{2} \int_{0}^{4} \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx\]
Рассмотрим первый член:
\[\left[ (-x+1) \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right]_{0}^{4} = \left( (-4+1) \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi \cdot 4}{2}\right) \right) - \left( (-0+1) \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi \cdot 0}{2}\right) \right)\]
\[= \left( -3 \frac{2}{n\pi} \sin(2n\pi) \right) - \left( 1 \frac{2}{n\pi} \sin(0) \right)\]
Так как \(\sin(2n\pi) = 0\) и \(\sin(0) = 0\), первый член равен \(0\).
Теперь второй член:
\[\frac{1}{2} \int_{0}^{4} \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx = \frac{1}{n\pi} \int_{0}^{4} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx\]
\[= \frac{1}{n\pi} \left[ -\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right]_{0}^{4}\]
\[= -\frac{2}{(n\pi)^2} \left[ \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right]_{0}^{4}\]
\[= -\frac{2}{(n\pi)^2} \left( \cos\left(\frac{n\pi \cdot 4}{2}\right) - \cos\left(\frac{n\pi \cdot 0}{2}\right) \right)\]
\[= -\frac{2}{(n\pi)^2} \left( \cos(2n\pi) - \cos(0) \right)\]
Так как \(\cos(2n\pi) = 1\) и \(\cos(0) = 1\), то:
\[= -\frac{2}{(n\pi)^2} (1 - 1) = 0\]
Таким образом, \(a_n = 0\) для всех \(n \ge 1\).
Вычисление \(b_n\):
\[b_n = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} (-x+1) \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx\]
Используем интегрирование по частям: \(\int u dv = uv - \int v du\).
Пусть \(u = -x+1\), \(dv = \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx\).
Тогда \(du = -dx\), \(v = \int \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx = -\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\).
\[b_n = \frac{1}{2} \left[ (-x+1) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right) \right]_{0}^{4} - \frac{1}{2} \int_{0}^{4} \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right) (-dx)\]
\[b_n = \frac{1}{2} \left[ (-x+1) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right) \right]_{0}^{4} - \frac{1}{2} \int_{0}^{4} \frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx\]
Рассмотрим первый член:
\[\frac{1}{2} \left[ (-x+1) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right) \right]_{0}^{4}\]
\[= \frac{1}{2} \left( (-4+1) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi \cdot 4}{2}\right)\right) - (-0+1) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi \cdot 0}{2}\right)\right) \right)\]
\[= \frac{1}{2} \left( (-3) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos(2n\pi)\right) - (1) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos(0)\right) \right)\]
\[= \frac{1}{2} \left( \frac{6}{n\pi} \cdot 1 - \left(-\frac{2}{n\pi} \cdot 1\right) \right)\]
\[= \frac{1}{2} \left( \frac{6}{n\pi} + \frac{2}{n\pi} \right)\]
\[= \frac{1}{2} \left( \frac{8}{n\pi} \right) = \frac{4}{n\pi}\]
Теперь второй член:
\[- \frac{1}{2} \int_{0}^{4} \frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx = -\frac{1}{n\pi} \int_{0}^{4} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx\]
\[= -\frac{1}{n\pi} \left[ \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right]_{0}^{4}\]
\[= -\frac{2}{(n\pi)^2} \left[ \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right]_{0}^{4}\]
\[= -\frac{2}{(n\pi)^2} \left( \sin\left(\frac{n\pi \cdot 4}{2}\right) - \sin\left(\frac{n\pi \cdot 0}{2}\right) \right)\]
\[= -\frac{2}{(n\pi)^2} \left( \sin(2n\pi) - \sin(0) \right)\]
Так как \(\sin(2n\pi) = 0\) и \(\sin(0) = 0\), второй член равен \(0\).
Таким образом, \(b_n = \frac{4}{n\pi}\).
Ряд Фурье:
Подставляем найденные коэффициенты в формулу ряда Фурье:
\[S(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right)\]
\[S(x) = \frac{-2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( 0 \cdot \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) + \frac{4}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right)\]
\[S(x) = -1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\]
\[S(x) = -1 + \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\]
3. Вычисление значения суммы ряда \(S(x)\) в точке \(x=4\)
Точка \(x=4\) является точкой разрыва функции \(f(x)\).
Согласно теореме Дирихле, в точках разрыва первого рода сумма ряда Фурье равна среднему арифметическому пределов функции слева и справа в этой точке.
\[S(x_0) = \frac{f(x_0^-) + f(x_0^+)}{2}\]
Для \(x_0 = 4\):
Предел слева: \(f(4^-) = \lim_{x \to 4^-} f(x)\). На интервале \((0, 4)\), \(f(x) = -x+1\).
Значит, \(f(4^-) = -4+1 = -3\).
Предел справа: \(f(4^+) = \lim_{x \to 4^+} f(x)\).
Из-за периодичности \(T=4\), \(f(x)\) на интервале \((4, 8)\) ведет себя как \(f(x-4)\) на интервале \((0, 4)\).
То есть, \(f(4^+) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x-4)\).
Пусть \(y = x-4\). Когда \(x \to 4^+\), \(y \to 0^+\).
Значит, \(f(4^+) = \lim_{y \to 0^+} f(y)\). На интервале \((0, 4)\), \(f(y) = -y+1\).
Значит, \(f(4^+) = -0+1 = 1\).
Теперь вычислим сумму ряда в точке \(x=4\):
\[S(4) = \frac{f(4^-) + f(4^+)}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]
Проверим это, подставив \(x=4\) в полученный ряд Фурье:
\[S(4) = -1 + \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin\left(\frac{n\pi \cdot 4}{2}\right)\]
\[S(4) = -1 + \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin(2n\pi)\]
Так как \(\sin(2n\pi) = 0\) для любого целого \(n\), то вся сумма равна \(0\).
\[S(4) = -1 + \frac{4}{\pi} \cdot 0\]
\[S(4) = -1\]
Результаты совпадают.
Ответы:
1. График функции \(f(x)\) на интервале \((-4, 8)\):
* На интервале \((-4, 0)\) это прямая линия, соединяющая точки \((-4, 1)\) и \((0, -3)\).
* На интервале \((0, 4)\) это прямая линия, соединяющая точки \((0, 1)\) и \((4, -3)\).
* На интервале \((4, 8)\) это прямая линия, соединяющая точки \((4, 1)\) и \((8, -3)\).
(На графике точки \((0,1)\), \((4,-3)\), \((4,1)\), \((8,-3)\) и т.д. будут "выколотыми" или "закрашенными" в зависимости от определения функции в точках разрыва. В данном случае, поскольку интервал открытый, можно считать, что функция не определена в этих точках, а ряд Фурье сходится к среднему значению.)
2. Разложение функции \(f(x)\) в ряд Фурье:
\[S(x) = -1 + \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\]
3. Значение суммы ряда \(S(x)\) в точке \(x=4\):
\[S(4) = -1\]
