Решим задачу по шагам.
Задача:
Построить график функции \(f(x) = -x+1\), \(x \in (0,4)\), \(T=4\) на интервале \((-4, 8)\). Разложить функцию \(f(x)\) в ряд Фурье, вычислить значение суммы ряда \(S(x)\) в точке \(x=4\).
1. Построение графика функции
Функция \(f(x) = -x+1\) определена на интервале \((0,4)\) и имеет период \(T=4\).
Это означает, что функция повторяется каждые 4 единицы по оси \(x\).
Сначала построим график на основном интервале \((0,4)\):
При \(x=0\), \(f(x) = -0+1 = 1\). Точка \((0,1)\).
При \(x=4\), \(f(x) = -4+1 = -3\). Точка \((4,-3)\).
Так как интервал открытый, то в точках \(x=0\) и \(x=4\) будут "выколотые" точки.
Теперь построим график на интервале \((-4, 8)\), используя периодичность \(T=4\).
* На интервале \((0,4)\): \(f(x) = -x+1\). График - прямая линия, соединяющая (0,1) и (4,-3) (с выколотыми точками).
* На интервале \((4,8)\):
Используем периодичность: \(f(x) = f(x-T) = f(x-4)\).
Тогда для \(x \in (4,8)\), \(x-4 \in (0,4)\).
\(f(x) = -(x-4)+1 = -x+4+1 = -x+5\).
При \(x=4\), \(f(x) = -4+5 = 1\). Точка \((4,1)\) (выколотая).
При \(x=8\), \(f(x) = -8+5 = -3\). Точка \((8,-3)\) (выколотая).
* На интервале \((-4,0)\):
Используем периодичность: \(f(x) = f(x+T) = f(x+4)\).
Тогда для \(x \in (-4,0)\), \(x+4 \in (0,4)\).
\(f(x) = -(x+4)+1 = -x-4+1 = -x-3\).
При \(x=-4\), \(f(x) = -(-4)-3 = 4-3 = 1\). Точка \((-4,1)\) (выколотая).
При \(x=0\), \(f(x) = -0-3 = -3\). Точка \((0,-3)\) (выколотая).
График будет состоять из трех отрезков прямых:
1. На \((-4,0)\) от \((-4,1)\) до \((0,-3)\).
2. На \((0,4)\) от \((0,1)\) до \((4,-3)\).
3. На \((4,8)\) от \((4,1)\) до \((8,-3)\).
Важно отметить, что в точках разрыва (например, \(x=0, 4\)) функция не определена, и график будет иметь "скачки".
(Здесь должен быть рисунок графика. Поскольку я не могу рисовать, я описал его словами. Школьнику нужно будет нарисовать его по описанию.)
2. Разложение функции в ряд Фурье
Функция \(f(x)\) задана на интервале \((0,T)\) с периодом \(T=4\).
Формулы для коэффициентов ряда Фурье:
\[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right) \right)\]
В нашем случае \(T=4\), поэтому \(\frac{2\pi n}{T} = \frac{2\pi n}{4} = \frac{\pi n}{2}\).
\[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{\pi nx}{2}\right) + b_n \sin\left(\frac{\pi nx}{2}\right) \right)\]
Вычислим коэффициенты:
\[a_0 = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx\]
\[a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right) dx\]
\[b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right) dx\]
Подставляем \(T=4\) и \(f(x) = -x+1\):
Вычисление \(a_0\):
\[a_0 = \frac{2}{4} \int_{0}^{4} (-x+1) dx = \frac{1}{2} \left[ -\frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{4}\]
\[a_0 = \frac{1}{2} \left( \left(-\frac{4^2}{2} + 4\right) - \left(-\frac{0^2}{2} + 0\right) \right)\]
\[a_0 = \frac{1}{2} \left( -\frac{16}{2} + 4 \right) = \frac{1}{2} (-8 + 4) = \frac{1}{2} (-4) = -2\]
Вычисление \(a_n\):
\[a_n = \frac{2}{4} \int_{0}^{4} (-x+1) \cos\left(\frac{\pi nx}{2}\right) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} (-x+1) \cos\left(\frac{\pi nx}{2}\right) dx\]
Используем формулу интегрирования по частям \(\int u dv = uv - \int v du\).
Пусть \(u = -x+1\), \(du = -dx\).
Пусть \(dv = \cos\left(\frac{\pi nx}{2}\right) dx\), \(v = \frac{2}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi nx}{2}\right)\).
\[\int_{0}^{4} (-x+1) \cos\left(\frac{\pi nx}{2}\right) dx = \left[ (-x+1) \frac{2}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi nx}{2}\right) \right]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} \frac{2}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi nx}{2}\right) (-dx)\]
\[= \left[ (-x+1) \frac{2}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi nx}{2}\right) \right]_{0}^{4} + \frac{2}{\pi n} \int_{0}^{4} \sin\left(\frac{\pi nx}{2}\right) dx\]
Рассмотрим первый член:
При \(x=4\): \((-4+1) \frac{2}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi n \cdot 4}{2}\right) = -3 \frac{2}{\pi n} \sin(2\pi n) = 0\) (так как \(\sin(2\pi n) = 0\) для целых \(n\)).
При \(x=0\): \((-0+1) \frac{2}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi n \cdot 0}{2}\right) = 1 \frac{2}{\pi n} \sin(0) = 0\).
Значит, первый член равен 0.
Рассмотрим второй член:
\[\frac{2}{\pi n} \int_{0}^{4} \sin\left(\frac{\pi nx}{2}\right) dx = \frac{2}{\pi n} \left[ -\frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi nx}{2}\right) \right]_{0}^{4}\]
\[= -\frac{4}{(\pi n)^2} \left[ \cos\left(\frac{\pi nx}{2}\right) \right]_{0}^{4}\]
\[= -\frac{4}{(\pi n)^2} \left( \cos\left(\frac{\pi n \cdot 4}{2}\right) - \cos\left(\frac{\pi n \cdot 0}{2}\right) \right)\]
\[= -\frac{4}{(\pi n)^2} \left( \cos(2\pi n) - \cos(0) \right)\]
\[= -\frac{4}{(\pi n)^2} (1 - 1) = 0\]
Таким образом, \(a_n = 0\) для всех \(n \ge 1\).
Вычисление \(b_n\):
\[b_n = \frac{2}{4} \int_{0}^{4} (-x+1) \sin\left(\frac{\pi nx}{2}\right) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} (-x+1) \sin\left(\frac{\pi nx}{2}\right) dx\]
Используем формулу интегрирования по частям \(\int u dv = uv - \int v du\).
Пусть \(u = -x+1\), \(du = -dx\).
Пусть \(dv = \sin\left(\frac{\pi nx}{2}\right) dx\), \(v = -\frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi nx}{2}\right)\).
\[\int_{0}^{4} (-x+1) \sin\left(\frac{\pi nx}{2}\right) dx = \left[ (-x+1) \left(-\frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi nx}{2}\right)\right) \right]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} \left(-\frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi nx}{2}\right)\right) (-dx)\]
\[= \left[ -(-x+1) \frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi nx}{2}\right) \right]_{0}^{4} - \frac{2}{\pi n} \int_{0}^{4} \cos\left(\frac{\pi nx}{2}\right) dx\]
Рассмотрим первый член:
При \(x=4\): \(-(-4+1) \frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n \cdot 4}{2}\right) = -(-3) \frac{2}{\pi n} \cos(2\pi n) = 3 \frac{2}{\pi n} \cdot 1 = \frac{6}{\pi n}\).
При \(x=0\): \(-(-0+1) \frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n \cdot 0}{2}\right) = -(1) \frac{2}{\pi n} \cos(0) = -\frac{2}{\pi n} \cdot 1 = -\frac{2}{\pi n}\).
Значит, первый член равен \(\frac{6}{\pi n} - \left(-\frac{2}{\pi n}\right) = \frac{6}{\pi n} + \frac{2}{\pi n} = \frac{8}{\pi n}\).
Рассмотрим второй член:
\[-\frac{2}{\pi n} \int_{0}^{4} \cos\left(\frac{\pi nx}{2}\right) dx = -\frac{2}{\pi n} \left[ \frac{2}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi nx}{2}\right) \right]_{0}^{4}\]
\[= -\frac{4}{(\pi n)^2} \left[ \sin\left(\frac{\pi nx}{2}\right) \right]_{0}^{4}\]
\[= -\frac{4}{(\pi n)^2} \left( \sin\left(\frac{\pi n \cdot 4}{2}\right) - \sin\left(\frac{\pi n \cdot 0}{2}\right) \right)\]
\[= -\frac{4}{(\pi n)^2} (\sin(2\pi n) - \sin(0)) = -\frac{4}{(\pi n)^2} (0 - 0) = 0\]
Таким образом, \(\int_{0}^{4} (-x+1) \sin\left(\frac{\pi nx}{2}\right) dx = \frac{8}{\pi n}\).
Теперь найдем \(b_n\):
\[b_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{\pi n} = \frac{4}{\pi n}\]
Ряд Фурье:
Подставляем найденные коэффициенты в формулу ряда Фурье:
\[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{\pi nx}{2}\right) + b_n \sin\left(\frac{\pi nx}{2}\right) \right)\]
\[f(x) = \frac{-2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( 0 \cdot \cos\left(\frac{\pi nx}{2}\right) + \frac{4}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi nx}{2}\right) \right)\]
\[f(x) = -1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi nx}{2}\right)\]
\[f(x) = -1 + \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin\left(\frac{\pi nx}{2}\right)\]
3. Вычисление значения суммы ряда \(S(x)\) в точке \(x=4\)
Сумма ряда Фурье \(S(x)\) в точке разрыва равна среднему арифметическому пределов функции слева и справа в этой точке.
Точка \(x=4\) является точкой разрыва для нашей периодической функции.
Найдем предел функции при \(x \to 4^-\) (слева от 4):
На интервале \((0,4)\), \(f(x) = -x+1\).
\[\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} (-x+1) = -4+1 = -3\]
Найдем предел функции при \(x \to 4^+\) (справа от 4):
На интервале \((4,8)\), \(f(x) = -x+5\).
\[\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} (-x+5) = -4+5 = 1\]
Сумма ряда \(S(4)\) в точке \(x=4\) равна:
\[S(4) = \frac{\lim_{x \to 4^-} f(x) + \lim_{x \to 4^+} f(x)}{2}\]
\[S(4) = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]
Ответы:
1. График функции \(f(x)\) на интервале \((-4, 8)\) представляет собой три отрезка прямых:
* На \((-4,0)\) от \((-4,1)\) до \((0,-3)\) (выколотые точки).
* На \((0,4)\) от \((0,1)\) до \((4,-3)\) (выколотые точки).
* На \((4,8)\) от \((4,1)\) до \((8,-3)\) (выколотые точки).
(Школьнику нужно нарисовать этот график.)
2. Разложение функции \(f(x)\) в ряд Фурье:
\[f(x) = -1 + \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin\left(\frac{\pi nx}{2}\right)\]
3. Значение суммы ряда \(S(x)\) в точке \(x=4\):
\[S(4) = -1\]
