Вычисление x1x2^3 + x2x1^3 для уравнения 4x^2 + 5x - 3 = 0

Задача 4. [1 балл] Уравнение \( 4x^2 + 5x - 3 = 0 \) имеет два корня: \( x_1 \) и \( x_2 \). Вычислите \( x_1x_2^3 + x_2x_1^3 \). Решение: Данное уравнение является квадратным уравнением вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 4 \), \( b = 5 \), \( c = -3 \). По теореме Виета для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) сумма корней \( x_1 + x_2 \) и произведение корней \( x_1 \cdot x_2 \) выражаются следующим образом: Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) Для нашего уравнения: \( x_1 + x_2 = -\frac{5}{4} \) \( x_1 \cdot x_2 = \frac{-3}{4} = -\frac{3}{4} \) Теперь нам нужно вычислить выражение \( x_1x_2^3 + x_2x_1^3 \). Вынесем общий множитель \( x_1x_2 \) за скобки: \( x_1x_2^3 + x_2x_1^3 = x_1x_2(x_2^2 + x_1^2) \) Теперь нам нужно найти \( x_1^2 + x_2^2 \). Мы можем выразить эту сумму через \( (x_1 + x_2)^2 \): \( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \) Отсюда: \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \) Подставим значения суммы и произведения корней: \( x_1^2 + x_2^2 = \left(-\frac{5}{4}\right)^2 - 2 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \) \( x_1^2 + x_2^2 = \frac{25}{16} - \left(-\frac{6}{4}\right) \) \( x_1^2 + x_2^2 = \frac{25}{16} + \frac{6}{4} \) Приведем дроби к общему знаменателю 16: \( x_1^2 + x_2^2 = \frac{25}{16} + \frac{6 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{25}{16} + \frac{24}{16} = \frac{25 + 24}{16} = \frac{49}{16} \) Теперь подставим найденные значения \( x_1 \cdot x_2 \) и \( x_1^2 + x_2^2 \) в выражение \( x_1x_2(x_2^2 + x_1^2) \): \( x_1x_2(x_2^2 + x_1^2) = \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(\frac{49}{16}\right) \) Выполним умножение дробей: \( -\frac{3}{4} \cdot \frac{49}{16} = -\frac{3 \cdot 49}{4 \cdot 16} = -\frac{147}{64} \) Ответ: \( -\frac{147}{64} \).