Решение задачи: Найдите периметр прямоугольного треугольника

Задача 5. [1 балл] Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно 5:3, а другой катет равен 36. Найдите периметр треугольника. Решение: Пусть стороны прямоугольного треугольника будут \( a \), \( b \) (катеты) и \( c \) (гипотенуза). По условию задачи, отношение гипотенузы к одному из катетов равно 5:3. Пусть это будет катет \( a \). Тогда \( \frac{c}{a} = \frac{5}{3} \). Отсюда мы можем выразить \( c \) и \( a \) через некоторую переменную \( x \): Пусть \( c = 5x \) и \( a = 3x \). Известно, что другой катет \( b = 36 \). Для прямоугольного треугольника действует теорема Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \). Подставим известные значения и выражения в теорему Пифагора: \( (3x)^2 + 36^2 = (5x)^2 \) \( 9x^2 + 1296 = 25x^2 \) Перенесем \( 9x^2 \) в правую часть уравнения: \( 1296 = 25x^2 - 9x^2 \) \( 1296 = 16x^2 \) Разделим обе части уравнения на 16, чтобы найти \( x^2 \): \( x^2 = \frac{1296}{16} \) \( x^2 = 81 \) Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти \( x \). Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, берем только положительное значение: \( x = \sqrt{81} \) \( x = 9 \) Теперь, когда мы знаем значение \( x \), мы можем найти длины катета \( a \) и гипотенузы \( c \): Катет \( a = 3x = 3 \cdot 9 = 27 \) Гипотенуза \( c = 5x = 5 \cdot 9 = 45 \) Проверим с помощью теоремы Пифагора: \( 27^2 + 36^2 = 729 + 1296 = 2025 \) \( 45^2 = 2025 \) Все верно. Теперь, когда мы знаем длины всех сторон треугольника: \( a = 27 \), \( b = 36 \), \( c = 45 \), мы можем найти периметр треугольника. Периметр \( P \) - это сумма длин всех сторон: \( P = a + b + c \) \( P = 27 + 36 + 45 \) \( P = 63 + 45 \) \( P = 108 \) Ответ: 108.