Решение задачи: Сравнение √4+√9+√6 и 1+√3

Сравните \( \sqrt{4+\sqrt{9}+\sqrt{6}} \) и \( 1+\sqrt{3} \). Решение: Для того чтобы сравнить два числа, мы можем упростить первое число, а затем сравнить их. 1. Упростим выражение под большим корнем: \( \sqrt{4+\sqrt{9}+\sqrt{6}} \) Мы знаем, что \( \sqrt{9} = 3 \). Тогда выражение становится: \( \sqrt{4+3+\sqrt{6}} = \sqrt{7+\sqrt{6}} \) Теперь нам нужно сравнить \( \sqrt{7+\sqrt{6}} \) и \( 1+\sqrt{3} \). Оба числа положительные, поэтому мы можем возвести их в квадрат, чтобы избавиться от корней и упростить сравнение. Возведем в квадрат первое число: \( (\sqrt{7+\sqrt{6}})^2 = 7+\sqrt{6} \) Возведем в квадрат второе число: \( (1+\sqrt{3})^2 \) Используем формулу квадрата суммы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \): \( (1+\sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 \) \( = 1 + 2\sqrt{3} + 3 \) \( = 4 + 2\sqrt{3} \) Теперь нам нужно сравнить \( 7+\sqrt{6} \) и \( 4+2\sqrt{3} \). Перенесем все целые числа в одну сторону, а корни в другую: \( 7 - 4 \) и \( 2\sqrt{3} - \sqrt{6} \) \( 3 \) и \( 2\sqrt{3} - \sqrt{6} \) Чтобы сравнить \( 3 \) и \( 2\sqrt{3} - \sqrt{6} \), можно снова возвести в квадрат, но это может быть сложнее. Давайте попробуем оценить значения корней: \( \sqrt{6} \) находится между \( \sqrt{4}=2 \) и \( \sqrt{9}=3 \). Приблизительно \( \sqrt{6} \approx 2.45 \). \( \sqrt{3} \) находится между \( \sqrt{1}=1 \) и \( \sqrt{4}=2 \). Приблизительно \( \sqrt{3} \approx 1.73 \). Подставим эти приблизительные значения: \( 7+\sqrt{6} \approx 7 + 2.45 = 9.45 \) \( 4+2\sqrt{3} \approx 4 + 2 \cdot 1.73 = 4 + 3.46 = 7.46 \) Из этих приблизительных значений видно, что \( 9.45 > 7.46 \). Это означает, что \( 7+\sqrt{6} > 4+2\sqrt{3} \). Следовательно, \( \sqrt{7+\sqrt{6}} > 1+\sqrt{3} \). Для более строгого доказательства сравним \( 3 \) и \( 2\sqrt{3} - \sqrt{6} \). Можно перенести \( \sqrt{6} \) в левую часть: \( 3 + \sqrt{6} \) и \( 2\sqrt{3} \) Оба числа положительные, возведем их в квадрат: \( (3 + \sqrt{6})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 9 + 6\sqrt{6} + 6 = 15 + 6\sqrt{6} \) \( (2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12 \) Теперь сравним \( 15 + 6\sqrt{6} \) и \( 12 \). Очевидно, что \( 15 + 6\sqrt{6} > 12 \), так как \( 6\sqrt{6} \) - положительное число. Поскольку \( (3 + \sqrt{6})^2 > (2\sqrt{3})^2 \), и оба числа \( 3 + \sqrt{6} \) и \( 2\sqrt{3} \) положительны, то \( 3 + \sqrt{6} > 2\sqrt{3} \). Это подтверждает, что \( 7+\sqrt{6} > 4+2\sqrt{3} \). Таким образом, \( \sqrt{4+\sqrt{9}+\sqrt{6}} > 1+\sqrt{3} \). Ответ: \( \sqrt{4+\sqrt{9}+\sqrt{6}} > 1+\sqrt{3} \).