Вычисление логарифмов: Решения самостоятельной работы

Вот решения задач по вычислению логарифмов, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Самостоятельная работа по теме: «Вычисление логарифмов» № 27 I. Вычислите логарифм: 1) \( \log_2 32 \) Решение: Мы знаем, что \( 2^5 = 32 \). Значит, \( \log_2 32 = 5 \). Ответ: 5 2) \( \log_{13} 169 \) Решение: Мы знаем, что \( 13^2 = 169 \). Значит, \( \log_{13} 169 = 2 \). Ответ: 2 3) \( \log_{10} 100000 \) Решение: Мы знаем, что \( 10^5 = 100000 \). Значит, \( \log_{10} 100000 = 5 \). Ответ: 5 4) \( \log_{64} 4 \) Решение: Пусть \( \log_{64} 4 = x \). Тогда по определению логарифма \( 64^x = 4 \). Мы знаем, что \( 64 = 4^3 \). Значит, \( (4^3)^x = 4^1 \). \( 4^{3x} = 4^1 \). Приравниваем показатели: \( 3x = 1 \). \( x = \frac{1}{3} \). Ответ: \( \frac{1}{3} \) 5) \( \log_8 1 \) Решение: Мы знаем, что логарифм единицы по любому основанию (больше нуля и не равному единице) равен нулю. Значит, \( \log_8 1 = 0 \). Ответ: 0 6) \( \log_4 \frac{1}{64} \) Решение: Пусть \( \log_4 \frac{1}{64} = x \). Тогда по определению логарифма \( 4^x = \frac{1}{64} \). Мы знаем, что \( 64 = 4^3 \). Значит, \( 4^x = \frac{1}{4^3} \). \( 4^x = 4^{-3} \). Приравниваем показатели: \( x = -3 \). Ответ: -3 7) \( \log_{25} 125 \) Решение: Пусть \( \log_{25} 125 = x \). Тогда по определению логарифма \( 25^x = 125 \). Мы знаем, что \( 25 = 5^2 \) и \( 125 = 5^3 \). Значит, \( (5^2)^x = 5^3 \). \( 5^{2x} = 5^3 \). Приравниваем показатели: \( 2x = 3 \). \( x = \frac{3}{2} \). Ответ: \( \frac{3}{2} \) 8) \( \log_{10} \frac{1}{10} \sqrt{1000} \) Решение: Сначала упростим выражение под логарифмом: \( \frac{1}{10} \sqrt{1000} = 10^{-1} \cdot \sqrt{10^3} = 10^{-1} \cdot (10^3)^{\frac{1}{2}} = 10^{-1} \cdot 10^{\frac{3}{2}} \) При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \( 10^{-1 + \frac{3}{2}} = 10^{-\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} = 10^{\frac{1}{2}} \). Теперь вычислим логарифм: \( \log_{10} 10^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \). Ответ: \( \frac{1}{2} \) 9) \( 15 \log_5 \sqrt{25} \) Решение: Сначала вычислим \( \log_5 \sqrt{25} \). Мы знаем, что \( \sqrt{25} = 5 \). Значит, \( \log_5 \sqrt{25} = \log_5 5 = 1 \). Теперь умножим на 15: \( 15 \cdot 1 = 15 \). Ответ: 15 10) \( \frac{2}{3} \log_2 128 \) Решение: Сначала вычислим \( \log_2 128 \). Мы знаем, что \( 2^7 = 128 \). Значит, \( \log_2 128 = 7 \). Теперь умножим на \( \frac{2}{3} \): \( \frac{2}{3} \cdot 7 = \frac{14}{3} \). Ответ: \( \frac{14}{3} \) 11) \( \log_{27} (\log_2 8) \) Решение: Сначала вычислим внутренний логарифм \( \log_2 8 \). Мы знаем, что \( 2^3 = 8 \). Значит, \( \log_2 8 = 3 \). Теперь вычислим внешний логарифм: \( \log_{27} 3 \). Пусть \( \log_{27} 3 = x \). Тогда по определению логарифма \( 27^x = 3 \). Мы знаем, что \( 27 = 3^3 \). Значит, \( (3^3)^x = 3^1 \). \( 3^{3x} = 3^1 \). Приравниваем показатели: \( 3x = 1 \). \( x = \frac{1}{3} \). Ответ: \( \frac{1}{3} \) 12) \( \log_4 (\log_{17} 289) - \frac{1}{4} \log_5 625 \) Решение: Разделим выражение на две части и вычислим каждую отдельно. Часть 1: \( \log_4 (\log_{17} 289) \) Сначала вычислим внутренний логарифм \( \log_{17} 289 \). Мы знаем, что \( 17^2 = 289 \). Значит, \( \log_{17} 289 = 2 \). Теперь вычислим внешний логарифм: \( \log_4 2 \). Пусть \( \log_4 2 = y \). Тогда по определению логарифма \( 4^y = 2 \). Мы знаем, что \( 4 = 2^2 \). Значит, \( (2^2)^y = 2^1 \). \( 2^{2y} = 2^1 \). Приравниваем показатели: \( 2y = 1 \). \( y = \frac{1}{2} \). Итак, первая часть равна \( \frac{1}{2} \). Часть 2: \( \frac{1}{4} \log_5 625 \) Сначала вычислим \( \log_5 625 \). Мы знаем, что \( 5^4 = 625 \). Значит, \( \log_5 625 = 4 \). Теперь умножим на \( \frac{1}{4} \): \( \frac{1}{4} \cdot 4 = 1 \). Итак, вторая часть равна 1. Теперь вычтем из первой части вторую: \( \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \). Ответ: \( -\frac{1}{2} \)