Решение задачи: Определение равнодействующей силы (Вариант 22)

Вот решение задач, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Вариант 22 1. По рисунку определить величину и направление равнодействующей. Решение: Для определения равнодействующей силы, разложим все силы на составляющие по осям X и Y. Примем, что одна клетка соответствует одной единице силы. Силы: \( \vec{F_1} \) направлена вниз, ее величина 1 единица. \( \vec{F_2} \) направлена вправо, ее величина 3 единицы. \( \vec{F_3} \) направлена вверх, ее величина 3 единицы. \( \vec{F_4} \) направлена влево, ее величина 2 единицы. Проекции сил на ось X: \( F_{1x} = 0 \) \( F_{2x} = 3 \) \( F_{3x} = 0 \) \( F_{4x} = -2 \) (направлена влево) Суммарная сила по оси X: \( F_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} + F_{4x} = 0 + 3 + 0 - 2 = 1 \) единица. Проекции сил на ось Y: \( F_{1y} = -1 \) (направлена вниз) \( F_{2y} = 0 \) \( F_{3y} = 3 \) \( F_{4y} = 0 \) Суммарная сила по оси Y: \( F_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} + F_{4y} = -1 + 0 + 3 + 0 = 2 \) единицы. Равнодействующая сила \( \vec{F_R} \) имеет компоненты \( F_x = 1 \) и \( F_y = 2 \). Величина равнодействующей силы: \( F_R = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \) единиц. Приблизительно \( F_R \approx 2,24 \) единицы. Направление равнодействующей силы: Равнодействующая сила направлена вправо и вверх, так как обе ее компоненты положительны. Угол \( \alpha \) между равнодействующей силой и положительным направлением оси X можно найти как: \( \tan \alpha = \frac{F_y}{F_x} = \frac{2}{1} = 2 \) \( \alpha = \arctan(2) \approx 63,4^\circ \) Ответ: Величина равнодействующей силы составляет \( \sqrt{5} \) единиц (приблизительно 2,24 единицы). Направление равнодействующей силы: вправо и вверх, под углом примерно \( 63,4^\circ \) к горизонтальной оси (оси X). 2. Считая известными массы Земли (\( M_\oplus = 6 \cdot 10^{24} \) кг), Луны (\( M_\text{L} = 7,35 \cdot 10^{22} \) кг) и Солнца (\( M_\odot = 2 \cdot 10^{30} \) кг), а также расстояния от Земли до Солнца (\( R_{\oplus\odot} = 1,5 \cdot 10^{11} \) м) и от Земли до Луны (\( R_{\oplus\text{L}} = 4 \cdot 10^8 \) м), а также учитывая, что период обращения Луны составляет 27,3 суток, а Земля совершает один оборот вокруг Солнца за год, определить: Постоянная гравитации \( G = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \). Переведем период обращения Луны и Земли в секунды: Период обращения Луны: \( T_\text{L} = 27,3 \text{ суток} = 27,3 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 2358720 \text{ с} \approx 2,36 \cdot 10^6 \text{ с} \). Период обращения Земли вокруг Солнца: \( T_\oplus = 1 \text{ год} = 365,25 \text{ суток} = 365,25 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 31557600 \text{ с} \approx 3,16 \cdot 10^7 \text{ с} \). * Силу гравитационного взаимодействия Земли и Солнца. Решение: Используем закон всемирного тяготения Ньютона: \[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \] где \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы взаимодействующих тел, \( r \) - расстояние между их центрами. Для Земли и Солнца: \( M_\oplus = 6 \cdot 10^{24} \) кг \( M_\odot = 2 \cdot 10^{30} \) кг \( R_{\oplus\odot} = 1,5 \cdot 10^{11} \) м \[ F_{\oplus\odot} = G \frac{M_\oplus M_\odot}{R_{\oplus\odot}^2} \] \[ F_{\oplus\odot} = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{(6 \cdot 10^{24} \text{ кг}) \cdot (2 \cdot 10^{30} \text{ кг})}{(1,5 \cdot 10^{11} \text{ м})^2} \] \[ F_{\oplus\odot} = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{12 \cdot 10^{54}}{2,25 \cdot 10^{22}} \] \[ F_{\oplus\odot} = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,333 \cdot 10^{32} \] \[ F_{\oplus\odot} \approx 3,56 \cdot 10^{22} \text{ Н} \] Ответ: Сила гравитационного взаимодействия Земли и Солнца составляет примерно \( 3,56 \cdot 10^{22} \) Н. * Линейную и угловую скорости Земли при её движении по орбите (орбиту считать круговой). Решение: Угловая скорость \( \omega \) определяется как \( \omega = \frac{2\pi}{T} \), где \( T \) - период обращения. Линейная скорость \( v \) определяется как \( v = \omega R \), где \( R \) - радиус орбиты. Для Земли, движущейся вокруг Солнца: Период обращения Земли \( T_\oplus = 3,16 \cdot 10^7 \) с. Радиус орбиты Земли \( R_{\oplus\odot} = 1,5 \cdot 10^{11} \) м. Угловая скорость Земли: \[ \omega_\oplus = \frac{2\pi}{T_\oplus} = \frac{2 \cdot 3,14159}{3,16 \cdot 10^7 \text{ с}} \] \[ \omega_\oplus \approx 1,988 \cdot 10^{-7} \frac{\text{рад}}{\text{с}} \] Линейная скорость Земли: \[ v_\oplus = \omega_\oplus R_{\oplus\odot} = (1,988 \cdot 10^{-7} \frac{\text{рад}}{\text{с}}) \cdot (1,5 \cdot 10^{11} \text{ м}) \] \[ v_\oplus \approx 2,982 \cdot 10^4 \frac{\text{м}}{\text{с}} \] Это примерно 29,82 км/с. Ответ: Угловая скорость Земли составляет примерно \( 1,99 \cdot 10^{-7} \) рад/с. Линейная скорость Земли составляет примерно \( 2,98 \cdot 10^4 \) м/с (или 29,8 км/с). * В каком направлении и с каким ускорением начинает двигаться Луна во время полного солнечного затмения. Решение: Во время полного солнечного затмения Луна находится между Землей и Солнцем. В этот момент на Луну действуют две основные гравитационные силы: 1. Сила притяжения со стороны Земли (\( F_{\text{L}\oplus} \)). 2. Сила притяжения со стороны Солнца (\( F_{\text{L}\odot} \)). Обе эти силы направлены в одну сторону – к Солнцу (и к Земле, которая находится между Луной и Солнцем). Точнее, сила от Земли направлена к Земле, а сила от Солнца направлена к Солнцу. Поскольку Луна находится между Землей и Солнцем, эти силы направлены в противоположные стороны относительно Луны. Сила притяжения Земли к Луне направлена к Земле. Сила притяжения Солнца к Луне направлена к Солнцу. Расстояние от Земли до Луны: \( R_{\oplus\text{L}} = 4 \cdot 10^8 \) м. Расстояние от Луны до Солнца: \( R_{\text{L}\odot} = R_{\oplus\odot} - R_{\oplus\text{L}} = 1,5 \cdot 10^{11} \text{ м} - 4 \cdot 10^8 \text{ м} = 150 \cdot 10^9 \text{ м} - 0,4 \cdot 10^9 \text{ м} = 149,6 \cdot 10^9 \text{ м} \approx 1,496 \cdot 10^{11} \text{ м} \). Масса Луны: \( M_\text{L} = 7,35 \cdot 10^{22} \) кг. Масса Земли: \( M_\oplus = 6 \cdot 10^{24} \) кг. Масса Солнца: \( M_\odot = 2 \cdot 10^{30} \) кг. Сила притяжения Земли к Луне: \[ F_{\text{L}\oplus} = G \frac{M_\text{L} M_\oplus}{R_{\oplus\text{L}}^2} \] \[ F_{\text{L}\oplus} = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{(7,35 \cdot 10^{22}) \cdot (6 \cdot 10^{24})}{(4 \cdot 10^8)^2} \] \[ F_{\text{L}\oplus} = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{44,1 \cdot 10^{46}}{16 \cdot 10^{16}} \] \[ F_{\text{L}\oplus} = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 2,756 \cdot 10^{30} \] \[ F_{\text{L}\oplus} \approx 1,84 \cdot 10^{20} \text{ Н} \] Эта сила направлена от Луны к Земле. Сила притяжения Солнца к Луне: \[ F_{\text{L}\odot} = G \frac{M_\text{L} M_\odot}{R_{\text{L}\odot}^2} \] \[ F_{\text{L}\odot} = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{(7,35 \cdot 10^{22}) \cdot (2 \cdot 10^{30})}{(1,496 \cdot 10^{11})^2} \] \[ F_{\text{L}\odot} = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{14,7 \cdot 10^{52}}{2,238 \cdot 10^{22}} \] \[ F_{\text{L}\odot} = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 6,568 \cdot 10^{30} \] \[ F_{\text{L}\odot} \approx 4,38 \cdot 10^{20} \text{ Н} \] Эта сила направлена от Луны к Солнцу. Во время полного солнечного затмения Луна находится между Землей и Солнцем. Представим, что Земля находится в начале координат, Солнце справа, а Луна между ними. Тогда сила \( F_{\text{L}\oplus} \) (от Земли к Луне) направлена вправо (к Земле). Сила \( F_{\text{L}\odot} \) (от Солнца к Луне) направлена влево (к Солнцу). Однако, в контексте движения Луны, обычно рассматривают силы, действующие на Луну. Если мы смотрим на Луну, то сила притяжения Земли тянет Луну к Земле. Сила притяжения Солнца тянет Луну к Солнцу. Во время солнечного затмения Луна находится между Землей и Солнцем. Значит, Земля тянет Луну "назад" (в сторону Земли), а Солнце тянет Луну "вперед" (в сторону Солнца). Эти силы направлены в противоположные стороны. Равнодействующая сила на Луну: \[ F_{\text{равн}} = F_{\text{L}\odot} - F_{\text{L}\oplus} \] (если принять направление к Солнцу за положительное) \[ F_{\text{равн}} = 4,38 \cdot 10^{20} \text{ Н} - 1,84 \cdot 10^{20} \text{ Н} \] \[ F_{\text{равн}} = 2,54 \cdot 10^{20} \text{ Н} \] Направление равнодействующей силы: Поскольку \( F_{\text{L}\odot} > F_{\text{L}\oplus} \), равнодействующая сила направлена в сторону Солнца. Ускорение Луны: По второму закону Ньютона: \( F = ma \), откуда \( a = \frac{F}{m} \). \[ a_\text{L} = \frac{F_{\text{равн}}}{M_\text{L}} \] \[ a_\text{L} = \frac{2,54 \cdot 10^{20} \text{ Н}}{7,35 \cdot 10^{22} \text{ кг}} \] \[ a_\text{L} \approx 0,00345 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \] \[ a_\text{L} \approx 3,45 \cdot 10^{-3} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \] Ответ: Во время полного солнечного затмения Луна начинает двигаться с ускорением примерно \( 3,45 \cdot 10^{-3} \) м/с\(^2\) в направлении к Солнцу.