Решение задачи: изменение дисперсии при преобразовании чисел

Задача 10. [1 балл] Дисперсия числового набора равна 25. Все числа этого набора увеличили на 5, а затем умножили на 1,2. Чему равна дисперсия полученного набора? Решение: Давайте разберем, как изменение чисел в наборе влияет на его дисперсию. Пусть исходный числовой набор состоит из чисел \( x_1, x_2, \ldots, x_n \). Исходная дисперсия \( D(X) = 25 \). 1. **Все числа этого набора увеличили на 5.** Новый набор чисел будет \( y_i = x_i + 5 \). Свойство дисперсии гласит, что если к каждому числу набора прибавить (или вычесть) константу, то дисперсия набора не изменится. Математически это выражается как \( D(X + c) = D(X) \), где \( c \) - константа. В нашем случае \( c = 5 \). Значит, дисперсия набора \( y_i \) по-прежнему равна 25. \( D(Y) = D(X + 5) = D(X) = 25 \). 2. **Затем умножили на 1,2.** Теперь числа в наборе \( y_i \) умножили на 1,2. Полученный набор чисел будет \( z_i = 1.2 \cdot y_i \). Свойство дисперсии гласит, что если каждое число набора умножить на константу \( k \), то дисперсия набора умножится на \( k^2 \). Математически это выражается как \( D(kX) = k^2 D(X) \), где \( k \) - константа. В нашем случае \( k = 1.2 \). Значит, дисперсия набора \( z_i \) будет равна \( (1.2)^2 \) умножить на дисперсию набора \( y_i \). \( D(Z) = D(1.2 \cdot Y) = (1.2)^2 \cdot D(Y) \) Мы знаем, что \( D(Y) = 25 \). Вычислим \( (1.2)^2 \): \( (1.2)^2 = 1.2 \cdot 1.2 = 1.44 \) Теперь найдем дисперсию полученного набора: \( D(Z) = 1.44 \cdot 25 \) Выполним умножение: \( 1.44 \cdot 25 = 144 \cdot \frac{25}{100} = 144 \cdot \frac{1}{4} = \frac{144}{4} = 36 \) Таким образом, дисперсия полученного набора равна 36. Ответ: 36.