Решение задачи: Расчет массы сахарозы для изотонического раствора

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику.

1. Решите задачу:

Задача

Осмотическое давление плазмы крови человека при температуре 37°C составляет 780 кПа. Рассчитайте массу (г) сахарозы (C₁₂H₂₂O₁₁), необходимую для приготовления 0,5 л раствора изотонического крови.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением Вант-Гоффа для осмотического давления:

\[\Pi = C \cdot R \cdot T\]

где:

• \(\Pi\) – осмотическое давление (Па)
• \(C\) – молярная концентрация раствора (моль/м³ или моль/л)
• \(R\) – универсальная газовая постоянная (8,314 Дж/(моль·К))
• \(T\) – абсолютная температура (К)

1. Переведем известные величины в систему СИ:

• Осмотическое давление \(\Pi = 780 \text{ кПа} = 780 \cdot 10^3 \text{ Па}\)
• Температура \(T = 37^\circ\text{C} = 37 + 273,15 = 310,15 \text{ К}\)
• Объем раствора \(V = 0,5 \text{ л} = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3\)

2. Найдем молярную концентрацию \(C\) раствора:

Из уравнения Вант-Гоффа выразим \(C\):

\[C = \frac{\Pi}{R \cdot T}\] \[C = \frac{780 \cdot 10^3 \text{ Па}}{8,314 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)} \cdot 310,15 \text{ К}}\] \[C \approx \frac{780000}{2578,9} \approx 302,45 \text{ моль/м}^3\]

Переведем молярную концентрацию в моль/л:

\[C = 302,45 \text{ моль/м}^3 = 0,30245 \text{ моль/л}\]

3. Рассчитаем количество вещества сахарозы \(n\):

Количество вещества \(n\) можно найти по формуле:

\[n = C \cdot V\]

где \(V\) – объем раствора в литрах.

\[n = 0,30245 \text{ моль/л} \cdot 0,5 \text{ л} = 0,151225 \text{ моль}\]

4. Найдем молярную массу сахарозы (C₁₂H₂₂O₁₁):

Атомные массы элементов:

• C \(\approx 12,01 \text{ г/моль}\)
• H \(\approx 1,008 \text{ г/моль}\)
• O \(\approx 16,00 \text{ г/моль}\)

\[M(\text{C}_{12}\text{H}_{22}\text{O}_{11}) = 12 \cdot 12,01 + 22 \cdot 1,008 + 11 \cdot 16,00\] \[M(\text{C}_{12}\text{H}_{22}\text{O}_{11}) = 144,12 + 22,176 + 176 = 342,296 \text{ г/моль}\]

5. Рассчитаем массу сахарозы \(m\):

Масса вещества \(m\) находится по формуле:

\[m = n \cdot M\] \[m = 0,151225 \text{ моль} \cdot 342,296 \text{ г/моль}\] \[m \approx 51,74 \text{ г}\]

Ответ: Для приготовления 0,5 л раствора изотонического крови необходимо 51,74 г сахарозы.

2. Решите задачу:

Задача

Кислотная буферная система, содержащая в 1 л 0,05 моль слабой кислоты и 0,03 моль ее натриевой соли, имеет pH = 4,5, что соответствует [H⁺] = 3,1 \(\cdot\) 10^-5 моль/л. Рассчитайте константу диссоциации кислоты (моль/л).

Решение:

Для кислотной буферной системы используется уравнение Гендерсона-Хассельбаха:

\[\text{pH} = \text{p}K_a + \log\left(\frac{[\text{Соль}]}{[\text{Кислота}]}\right)\]

где:

• \(\text{pH}\) – водородный показатель раствора
• \(\text{p}K_a\) – отрицательный десятичный логарифм константы диссоциации кислоты (\(K_a\))
• \([\text{Соль}]\) – молярная концентрация соли слабой кислоты
• \([\text{Кислота}]\) – молярная концентрация слабой кислоты

1. Запишем известные величины:

• Объем раствора \(V = 1 \text{ л}\)
• Количество слабой кислоты \(n_{\text{кислота}} = 0,05 \text{ моль}\)
• Количество соли \(n_{\text{соль}} = 0,03 \text{ моль}\)
• \(\text{pH} = 4,5\)
• \([\text{H}^+] = 3,1 \cdot 10^{-5} \text{ моль/л}\)

2. Определим концентрации кислоты и соли:

Так как объем раствора 1 л, то молярные концентрации равны количествам вещества:

• \([\text{Кислота}] = \frac{0,05 \text{ моль}}{1 \text{ л}} = 0,05 \text{ моль/л}\)
• \([\text{Соль}] = \frac{0,03 \text{ моль}}{1 \text{ л}} = 0,03 \text{ моль/л}\)

3. Используем уравнение Гендерсона-Хассельбаха для нахождения \(\text{p}K_a\):

\[4,5 = \text{p}K_a + \log\left(\frac{0,03}{0,05}\right)\] \[4,5 = \text{p}K_a + \log(0,6)\]

Рассчитаем \(\log(0,6)\):

\[\log(0,6) \approx -0,22\]

Подставим значение в уравнение:

\[4,5 = \text{p}K_a - 0,22\] \[\text{p}K_a = 4,5 + 0,22\] \[\text{p}K_a = 4,72\]

4. Рассчитаем константу диссоциации кислоты \(K_a\):

По определению \(\text{p}K_a = -\log(K_a)\), следовательно:

\[K_a = 10^{-\text{p}K_a}\] \[K_a = 10^{-4,72}\] \[K_a \approx 1,905 \cdot 10^{-5} \text{ моль/л}\]

Проверка с использованием [H⁺]:

Для слабой кислоты \(HA \rightleftharpoons H^+ + A^-\), константа диссоциации \(K_a\) выражается как:

\[K_a = \frac{[H^+] \cdot [A^-]}{[HA]}\]

В буферной системе концентрация \(A^-\) (аниона кислоты) практически равна концентрации соли, а концентрация \(HA\) (недиссоциированной кислоты) равна исходной концентрации кислоты.

\[K_a = \frac{[H^+] \cdot [\text{Соль}]}{[\text{Кислота}]}\]

Подставим известные значения:

\[K_a = \frac{3,1 \cdot 10^{-5} \text{ моль/л} \cdot 0,03 \text{ моль/л}}{0,05 \text{ моль/л}}\] \[K_a = \frac{0,093 \cdot 10^{-5}}{0,05}\] \[K_a = 1,86 \cdot 10^{-5} \text{ моль/л}\]

Оба метода дают близкие результаты, небольшое расхождение может быть связано с округлением значений.

Ответ: Константа диссоциации кислоты \(K_a\) составляет примерно \(1,91 \cdot 10^{-5}\) моль/л (или \(1,86 \cdot 10^{-5}\) моль/л, в зависимости от метода округления).