Решение задачи: изменение дисперсии числового набора

Задача 10. Условие: Дисперсия числового набора равна 25. Все числа этого набора увеличили на 5, а затем умножили на 1,2. Чему равна дисперсия полученного набора? Решение: Пусть исходный числовой набор состоит из чисел \(x_1, x_2, \dots, x_n\). Исходная дисперсия \(D(X) = 25\). Сначала все числа набора увеличили на 5. Получим новый набор чисел \(y_i = x_i + 5\). Свойство дисперсии гласит, что при добавлении (или вычитании) константы ко всем элементам набора, дисперсия не меняется. То есть, \(D(X + c) = D(X)\). В нашем случае \(c = 5\), поэтому дисперсия набора \(y_i\) будет равна исходной дисперсии: \(D(Y) = D(X + 5) = D(X) = 25\). Затем числа нового набора \(y_i\) умножили на 1,2. Получим окончательный набор чисел \(z_i = 1,2 \cdot y_i\). Свойство дисперсии гласит, что при умножении всех элементов набора на константу \(k\), дисперсия умножается на квадрат этой константы. То есть, \(D(kX) = k^2 D(X)\). В нашем случае \(k = 1,2\), и мы применяем это свойство к дисперсии набора \(Y\). \(D(Z) = D(1,2 \cdot Y) = (1,2)^2 \cdot D(Y)\). Мы знаем, что \(D(Y) = 25\). Тогда: \(D(Z) = (1,2)^2 \cdot 25\) \(D(Z) = 1,44 \cdot 25\) Вычислим произведение: \(1,44 \cdot 25 = 144 \cdot \frac{1}{100} \cdot 25 = 144 \cdot \frac{25}{100} = 144 \cdot \frac{1}{4}\) \(144 \div 4 = 36\) Итак, дисперсия полученного набора равна 36. Ответ: 36.