Вычисление 64^(-1/3) и (49/25)^(-1/2): Подробное решение

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Вычислите: а) \(64^{-\frac{1}{3}}\) Решение: Отрицательная степень означает, что число нужно перевернуть (взять обратное), а дробная степень означает корень. Знаменатель дроби указывает на степень корня. \[64^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{64^{\frac{1}{3}}}\] \[\frac{1}{64^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{64}}\] Так как \(4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\), то \(\sqrt[3]{64} = 4\). \[\frac{1}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{4}\] Ответ: \(\frac{1}{4}\) б) \(\left(\frac{49}{25}\right)^{-\frac{1}{2}}\) Решение: Отрицательная степень означает, что дробь нужно перевернуть. \[\left(\frac{49}{25}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{25}{49}\right)^{\frac{1}{2}}\] Дробная степень \(\frac{1}{2}\) означает квадратный корень. \[\left(\frac{25}{49}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{25}{49}}\] Корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя. \[\sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}}\] Так как \(5 \cdot 5 = 25\) и \(7 \cdot 7 = 49\), то \(\sqrt{25} = 5\) и \(\sqrt{49} = 7\). \[\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}} = \frac{5}{7}\] Ответ: \(\frac{5}{7}\) в) \(0,008^{-\frac{1}{3}}\) Решение: Сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной дроби. \[0,008 = \frac{8}{1000}\] Теперь подставим это в выражение: \[\left(\frac{8}{1000}\right)^{-\frac{1}{3}}\] Отрицательная степень означает, что дробь нужно перевернуть. \[\left(\frac{8}{1000}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{1000}{8}\right)^{\frac{1}{3}}\] Дробная степень \(\frac{1}{3}\) означает кубический корень. \[\left(\frac{1000}{8}\right)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1000}{8}}\] Корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя. \[\sqrt[3]{\frac{1000}{8}} = \frac{\sqrt[3]{1000}}{\sqrt[3]{8}}\] Так как \(10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\) и \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\), то \(\sqrt[3]{1000} = 10\) и \(\sqrt[3]{8} = 2\). \[\frac{\sqrt[3]{1000}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{10}{2}\] \[\frac{10}{2} = 5\] Ответ: \(5\) г) \(\left(3\frac{3}{8}\right)^{-\frac{1}{3}}\) Решение: Сначала переведем смешанную дробь в неправильную. \[3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{24 + 3}{8} = \frac{27}{8}\] Теперь подставим это в выражение: \[\left(\frac{27}{8}\right)^{-\frac{1}{3}}\] Отрицательная степень означает, что дробь нужно перевернуть. \[\left(\frac{27}{8}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{8}{27}\right)^{\frac{1}{3}}\] Дробная степень \(\frac{1}{3}\) означает кубический корень. \[\left(\frac{8}{27}\right)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}}\] Корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя. \[\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}\] Так как \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\) и \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\), то \(\sqrt[3]{8} = 2\) и \(\sqrt[3]{27} = 3\). \[\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}\] Ответ: \(\frac{2}{3}\) д) \(32^{-\frac{1}{5}}\) Решение: Отрицательная степень означает, что число нужно перевернуть (взять обратное), а дробная степень означает корень. Знаменатель дроби указывает на степень корня. \[32^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{32^{\frac{1}{5}}}\] \[\frac{1}{32^{\frac{1}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{32}}\] Так как \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\), то \(\sqrt[5]{32} = 2\). \[\frac{1}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{2}\] Ответ: \(\frac{1}{2}\)