Задача 574
Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм.
Решение:
Доказательство:
Пусть ромб имеет диагонали \(d_1\) и \(d_2\). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Ромб состоит из четырех равных прямоугольных треугольников.
Рассмотрим один из таких треугольников. Его катеты равны половинам диагоналей, то есть \(\frac{d_1}{2}\) и \(\frac{d_2}{2}\).
Площадь одного такого треугольника равна:
\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} = \frac{d_1 d_2}{8}\]Так как ромб состоит из четырех таких треугольников, его площадь будет в 4 раза больше:
\[S_{\text{ромба}} = 4 \cdot S_{\text{треугольника}} = 4 \cdot \frac{d_1 d_2}{8} = \frac{d_1 d_2}{2}\]Что и требовалось доказать.
Вычисление площади ромба:
а) Диагонали равны 3,2 дм и 14 см.
Переведем все в одну единицу измерения, например, в сантиметры.
\(d_1 = 3,2 \text{ дм} = 3,2 \cdot 10 \text{ см} = 32 \text{ см}\)
\(d_2 = 14 \text{ см}\)
Площадь ромба:
\[S = \frac{d_1 d_2}{2} = \frac{32 \text{ см} \cdot 14 \text{ см}}{2} = \frac{448 \text{ см}^2}{2} = 224 \text{ см}^2\]б) Диагонали равны 4,6 дм и 2 дм.
Переведем все в сантиметры.
\(d_1 = 4,6 \text{ дм} = 4,6 \cdot 10 \text{ см} = 46 \text{ см}\)
\(d_2 = 2 \text{ дм} = 2 \cdot 10 \text{ см} = 20 \text{ см}\)
Площадь ромба:
\[S = \frac{d_1 d_2}{2} = \frac{46 \text{ см} \cdot 20 \text{ см}}{2} = \frac{920 \text{ см}^2}{2} = 460 \text{ см}^2\]Ответ: а) 224 см\(^2\); б) 460 см\(^2\).
Задача 575
Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза больше другой, а площадь ромба равна 27 см\(^2\).
Решение:
Пусть диагонали ромба равны \(d_1\) и \(d_2\).
По условию, одна диагональ в 1,5 раза больше другой. Пусть \(d_1 = 1,5 d_2\).
Площадь ромба \(S = 27 \text{ см}^2\).
Формула площади ромба: \(S = \frac{d_1 d_2}{2}\).
Подставим известные значения в формулу:
\[27 = \frac{(1,5 d_2) \cdot d_2}{2}\] \[27 = \frac{1,5 d_2^2}{2}\]Умножим обе части уравнения на 2:
\[54 = 1,5 d_2^2\]Разделим обе части на 1,5:
\[d_2^2 = \frac{54}{1,5}\] \[d_2^2 = 36\]Извлечем квадратный корень:
\[d_2 = \sqrt{36}\] \[d_2 = 6 \text{ см}\]Теперь найдем \(d_1\):
\[d_1 = 1,5 d_2 = 1,5 \cdot 6 \text{ см} = 9 \text{ см}\]Ответ: Диагонали ромба равны 9 см и 6 см.
Задача 576
В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей.
Решение:
Пусть дан выпуклый четырехугольник \(ABCD\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке \(O\).
Площадь четырехугольника \(ABCD\) можно представить как сумму площадей двух треугольников: \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\), или как сумму площадей \(\triangle ABD\) и \(\triangle BCD\).
Рассмотрим сумму площадей \(\triangle ABD\) и \(\triangle BCD\).
Диагональ \(BD\) является общим основанием для этих двух треугольников, если рассматривать высоты, опущенные на \(BD\).
Высота треугольника \(\triangle ABD\), опущенная из вершины \(A\) на \(BD\), это отрезок \(AO\), так как \(AC \perp BD\).
Высота треугольника \(\triangle BCD\), опущенная из вершины \(C\) на \(BD\), это отрезок \(CO\), так как \(AC \perp BD\).
Площадь \(\triangle ABD\):
\[S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AO\]Площадь \(\triangle BCD\):
\[S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CO\]Площадь четырехугольника \(ABCD\) равна сумме площадей этих двух треугольников:
\[S_{ABCD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AO + \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CO\]Вынесем общий множитель \(\frac{1}{2} \cdot BD\):
\[S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot (AO + CO)\]Заметим, что \(AO + CO = AC\).
Следовательно:
\[S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC\]Что и требовалось доказать. Площадь четырехугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения его диагоналей.
Задача 577
Точки \(D\) и \(E\) лежат на сторонах \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\). Найдите: а) \(S_{ADE}\), если \(AB=5\) см, \(AC=6\) см, \(AD=3\) см, \(AE=2\) см, \(S_{ABC}=10\) см\(^2\); б) \(AD\), если \(AB=8\) см, \(AC=3\) см, \(AE=2\) см, \(S_{ABC}=10\) см\(^2\), \(S_{ADE}=2\) см\(^2\).
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся свойством площадей треугольников, имеющих общий угол. Если два треугольника имеют общий угол, то отношение их площадей равно отношению произведений сторон, заключающих этот угол.
В данном случае, треугольники \(\triangle ADE\) и \(\triangle ABC\) имеют общий угол \(A\).
Следовательно, отношение их площадей равно:
\[\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC}\]а) Дано: \(AB=5\) см, \(AC=6\) см, \(AD=3\) см, \(AE=2\) см, \(S_{ABC}=10\) см\(^2\).
Найдем \(S_{ADE}\):
\[\frac{S_{ADE}}{10} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 6}\] \[\frac{S_{ADE}}{10} = \frac{6}{30}\] \[\frac{S_{ADE}}{10} = \frac{1}{5}\]Умножим обе части на 10:
\[S_{ADE} = \frac{1}{5} \cdot 10\] \[S_{ADE} = 2 \text{ см}^2\]б) Дано: \(AB=8\) см, \(AC=3\) см, \(AE=2\) см, \(S_{ABC}=10\) см\(^2\), \(S_{ADE}=2\) см\(^2\).
Найдем \(AD\):
\[\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC}\] \[\frac{2}{10} = \frac{AD \cdot 2}{8 \cdot 3}\] \[\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot AD}{24}\] \[\frac{1}{5} = \frac{AD}{12}\]Умножим обе части на 12:
\[AD = \frac{12}{5}\] \[AD = 2,4 \text{ см}\]Ответ: а) \(S_{ADE} = 2\) см\(^2\); б) \(AD = 2,4\) см.
Задача 578
Найдите площадь трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AB\) и \(CD\), если:
а) \(AB=21\) см, \(CD=17\) см, высота \(BH\) равна 7 см;
б) \(\angle D=30^\circ\), \(AB=2\) см, \(CD=10\) см, \(DA=8\) см;
в) \(BC \perp AB\), \(AB=5\) см, \(BC=8\) см, \(CD=13\) см.
Решение:
Общая формула площади трапеции: \(S = \frac{a+b}{2} \cdot h\), где \(a\) и \(b\) - длины оснований, \(h\) - высота.
а) Дано: \(AB=21\) см, \(CD=17\) см, \(h=BH=7\) см.
Основания трапеции \(a = AB = 21\) см, \(b = CD = 17\) см.
Площадь трапеции:
\[S = \frac{21+17}{2} \cdot 7\] \[S = \frac{38}{2} \cdot 7\] \[S = 19 \cdot 7\] \[S = 133 \text{ см}^2\]б) Дано: \(\angle D=30^\circ\), \(AB=2\) см, \(CD=10\) см, \(DA=8\) см.
Основания трапеции \(a = AB = 2\) см, \(b = CD = 10\) см.
Чтобы найти площадь, нам нужна высота. Проведем высоту \(AH_1\) из вершины \(A\) к основанию \(CD\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ADH_1\). В нем гипотенуза \(DA = 8\) см, угол \(\angle D = 30^\circ\).
Высота \(h = AH_1\) является катетом, лежащим напротив угла в \(30^\circ\). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы.
\[h = AH_1 = \frac{1}{2} \cdot DA = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} = 4 \text{ см}\]Теперь найдем площадь трапеции:
\[S = \frac{AB+CD}{2} \cdot h\] \[S = \frac{2+10}{2} \cdot 4\] \[S = \frac{12}{2} \cdot 4\] \[S = 6 \cdot 4\] \[S = 24 \text{ см}^2\]в) Дано: \(BC \perp AB\), \(AB=5\) см, \(BC=8\) см, \(CD=13\) см.
Условие \(BC \perp AB\) означает, что сторона \(BC\) является высотой трапеции, так как \(AB\) - основание, и \(BC\) перпендикулярна ему. (Предполагается, что \(ABCD\) - прямоугольная трапеция, где \(BC\) - боковая сторона, перпендикулярная основаниям).
Основания трапеции \(a = AB = 5\) см, \(b = CD = 13\) см.
Высота \(h = BC = 8\) см.
Площадь трапеции:
\[S = \frac{AB+CD}{2} \cdot BC\] \[S = \frac{5+13}{2} \cdot 8\] \[S = \frac{18}{2} \cdot 8\] \[S = 9 \cdot 8\] \[S = 72 \text{ см}^2\]Ответ: а) 133 см\(^2\); б) 24 см\(^2\); в) 72 см\(^2\).
Задача 579
Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см, а больший угол равен 135\(^\circ\).
Решение:
Пусть дана прямоугольная трапеция \(ABCD\), где \(AB\) и \(CD\) - основания, \(AD\) - боковая сторона, перпендикулярная основаниям (высота). Тогда \(\angle A = \angle D = 90^\circ\).
Две меньшие стороны равны 6 см. В прямоугольной трапеции меньшими сторонами могут быть: меньшее основание, высота, или одна из боковых сторон (если она не является высотой).
Больший угол трапеции равен 135\(^\circ\). В прямоугольной трапеции это может быть только угол при верхнем основании, то есть \(\angle B\) или \(\angle C\). Пусть \(\angle B = 135^\circ\).
Тогда \(\angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\).
Высота трапеции \(AD\) перпендикулярна основаниям. Значит, \(AD\) - одна из сторон.
Меньшими сторонами могут быть: \(AD\), \(AB\) (меньшее основание), \(CD\) (меньшее основание, если \(CD < AB\)).
Если \(AD = 6\) см, то это высота \(h=6\) см.
Проведем высоту \(BH_1\) из вершины \(B\) к основанию \(CD\). Тогда \(ADH_1B\) - прямоугольник, и \(BH_1 = AD = 6\) см.
В прямоугольном треугольнике \(\triangle BCH_1\), \(\angle C = 45^\circ\), \(\angle BH_1C = 90^\circ\). Значит, \(\angle CBH_1 =