Упрощение выражений со степенями: решение и ответ

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. 5) Упростите выражение: а) \(a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{2}{3}} b^{-\frac{1}{2}}\) Решение: При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степеней складываются. Для основания \(a\): \(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1\) Для основания \(b\): \(\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\) Таким образом, выражение упрощается до: \[a^{1} b^{0}\] Любое число в нулевой степени равно 1 (при условии, что число не равно 0). \[a^{1} \cdot 1 = a\] Ответ: \(a\) б) \((x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2\) Решение: Это квадрат разности, который раскрывается по формуле \((A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\). Здесь \(A = x^{\frac{1}{2}}\) и \(B = y^{\frac{1}{2}}\). \[(x^{\frac{1}{2}})^2 - 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} + (y^{\frac{1}{2}})^2\] При возведении степени в степень показатели перемножаются. \[x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (xy)^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2} \cdot 2}\] \[x^1 - 2\sqrt{xy} + y^1\] \[x - 2\sqrt{xy} + y\] Ответ: \(x - 2\sqrt{xy} + y\) в) \(\frac{a^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}}\) (предполагается, что в знаменателе \(a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}\) должно быть что-то другое, иначе знаменатель будет равен 0, если \(b \neq 1\). Если же это опечатка и имелось в виду \(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\) или что-то подобное, то решение будет другим. Исходя из изображения, я вижу \(a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}\). Если это так, то упрощение будет следующим.) Решение: Вынесем общий множитель \(a^{\frac{1}{2}}\) из знаменателя. \[\frac{a^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}(1 - b^{\frac{1}{2}})}\] При делении степеней с одинаковым основанием показатели степеней вычитаются. \[a^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{1 - b^{\frac{1}{2}}}\] \[a^{\frac{2}{2}} \cdot \frac{1}{1 - b^{\frac{1}{2}}}\] \[a^1 \cdot \frac{1}{1 - b^{\frac{1}{2}}}\] \[\frac{a}{1 - b^{\frac{1}{2}}}\] Можно также записать \(b^{\frac{1}{2}}\) как \(\sqrt{b}\). \[\frac{a}{1 - \sqrt{b}}\] Ответ: \(\frac{a}{1 - \sqrt{b}}\) г) \(b^{0,2} \cdot (b^{\frac{1}{2}})^2 \cdot a^{0,9}\) Решение: Сначала возведем степень в степень: \((b^{\frac{1}{2}})^2 = b^{\frac{1}{2} \cdot 2} = b^1 = b\). Теперь перепишем выражение: \[b^{0,2} \cdot b \cdot a^{0,9}\] При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степеней складываются. Для основания \(b\): \(0,2 + 1 = 1,2\) Таким образом, выражение упрощается до: \[b^{1,2} a^{0,9}\] Ответ: \(b^{1,2} a^{0,9}\)