159. Упростите выражение:
1) \[ \frac{7a^2}{a^2 - 25} \cdot \frac{5 - a}{a} \]
Решение:
Сначала разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\). В нашем случае \(a^2 - 25 = a^2 - 5^2 = (a - 5)(a + 5)\).
Заметим, что \(5 - a = -(a - 5)\).
Теперь подставим это в выражение:
\[ \frac{7a^2}{(a - 5)(a + 5)} \cdot \frac{-(a - 5)}{a} \]Сократим \(a - 5\) в числителе и знаменателе, а также \(a\) (одно \(a\) из \(a^2\) в числителе и \(a\) в знаменателе):
\[ \frac{7a \cdot \cancel{a}}{\cancel{(a - 5)}(a + 5)} \cdot \frac{-\cancel{(a - 5)}}{\cancel{a}} \] \[ = \frac{7a}{a + 5} \cdot (-1) \] \[ = -\frac{7a}{a + 5} \]Ответ: \( -\frac{7a}{a + 5} \)
2) \[ \frac{a^3 + b^3}{a^3 - b^3} \cdot \frac{b - a}{b + a} \]
Решение:
Используем формулы суммы и разности кубов:
\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)
Также заметим, что \(b - a = -(a - b)\) и \(b + a = a + b\).
Подставим это в выражение:
\[ \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} \cdot \frac{-(a - b)}{a + b} \]Сократим \(a + b\) и \(a - b\):
\[ \frac{\cancel{(a + b)}(a^2 - ab + b^2)}{\cancel{(a - b)}(a^2 + ab + b^2)} \cdot \frac{-\cancel{(a - b)}}{\cancel{a + b}} \] \[ = \frac{a^2 - ab + b^2}{a^2 + ab + b^2} \cdot (-1) \] \[ = -\frac{a^2 - ab + b^2}{a^2 + ab + b^2} \]Ответ: \( -\frac{a^2 - ab + b^2}{a^2 + ab + b^2} \)
3) \[ \frac{a^4 - 1}{a^3 - a} \cdot \frac{a}{1 + a^2} \]
Решение:
Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов: \(a^4 - 1 = (a^2)^2 - 1^2 = (a^2 - 1)(a^2 + 1)\).
Затем \(a^2 - 1\) также разложим: \(a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)\).
Значит, \(a^4 - 1 = (a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)\).
Разложим знаменатель первой дроби, вынеся \(a\) за скобки: \(a^3 - a = a(a^2 - 1) = a(a - 1)(a + 1)\).
Теперь подставим это в выражение:
\[ \frac{(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)}{a(a - 1)(a + 1)} \cdot \frac{a}{1 + a^2} \]Сократим общие множители: \((a - 1)\), \((a + 1)\), \((a^2 + 1)\) (или \(1 + a^2\)) и \(a\).
\[ \frac{\cancel{(a - 1)}\cancel{(a + 1)}\cancel{(a^2 + 1)}}{\cancel{a}\cancel{(a - 1)}\cancel{(a + 1)}} \cdot \frac{\cancel{a}}{\cancel{1 + a^2}} \]После сокращения всех множителей остается 1.
Ответ: \( 1 \)
4) \[ \frac{a^2 - 8ab}{12b} : \frac{8b^2 - ab}{24a} \]
Решение:
Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:
\[ \frac{a^2 - 8ab}{12b} \cdot \frac{24a}{8b^2 - ab} \]Разложим числители и знаменатели на множители:
В числителе первой дроби вынесем \(a\): \(a^2 - 8ab = a(a - 8b)\).
В знаменателе второй дроби вынесем \(b\): \(8b^2 - ab = b(8b - a)\).
Заметим, что \(8b - a = -(a - 8b)\).
Подставим это в выражение:
\[ \frac{a(a - 8b)}{12b} \cdot \frac{24a}{b(-(a - 8b))} \] \[ = \frac{a(a - 8b)}{12b} \cdot \frac{24a}{-b(a - 8b)} \]Сократим \((a - 8b)\) в числителе и знаменателе. Также сократим числа: \(24\) и \(12\).
\[ \frac{a\cancel{(a - 8b)}}{\cancel{12}b} \cdot \frac{\cancel{24}^2 a}{-b\cancel{(a - 8b)}} \] \[ = \frac{a}{b} \cdot \frac{2a}{-b} \]Перемножим оставшиеся части:
\[ = \frac{a \cdot 2a}{b \cdot (-b)} \] \[ = \frac{2a^2}{-b^2} \] \[ = -\frac{2a^2}{b^2} \]Ответ: \( -\frac{2a^2}{b^2} \)