Хорошо, давайте решим задачи из "Варианта 1".
Вариант 1
1. Выразите в радианной мере величины углов
Для перевода градусов в радианы используем формулу:
\[ \text{радианы} = \text{градусы} \cdot \frac{\pi}{180^\circ} \]
1. Для \(12^\circ\):
\[ 12^\circ = 12 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{12\pi}{180} = \frac{\pi}{15} \]
Ответ: \( \frac{\pi}{15} \) радиан.
2. Для \(568^\circ\):
\[ 568^\circ = 568 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{568\pi}{180} = \frac{142\pi}{45} \]
Ответ: \( \frac{142\pi}{45} \) радиан.
3. Для \(-86^\circ\):
\[ -86^\circ = -86 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{86\pi}{180} = -\frac{43\pi}{90} \]
Ответ: \( -\frac{43\pi}{90} \) радиан.
2. Выразите в градусной мере величины углов
Для перевода радиан в градусы используем формулу:
\[ \text{градусы} = \text{радианы} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \]
1. Для \( \frac{7\pi}{36} \):
\[ \frac{7\pi}{36} = \frac{7\pi}{36} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{36} = 7 \cdot 5^\circ = 35^\circ \]
Ответ: \( 35^\circ \).
2. Для \( -\frac{4\pi}{9} \):
\[ -\frac{4\pi}{9} = -\frac{4\pi}{9} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{4 \cdot 180^\circ}{9} = -4 \cdot 20^\circ = -80^\circ \]
Ответ: \( -80^\circ \).
3. Для \( 0,3\pi \):
\[ 0,3\pi = 0,3\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 0,3 \cdot 180^\circ = 54^\circ \]
Ответ: \( 54^\circ \).
3. Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если
\[ \cos \alpha = -0,6; \quad \pi \le \alpha \le \frac{3\pi}{2} \]
Дано: \( \cos \alpha = -0,6 \).
Угол \( \alpha \) находится в третьей четверти, так как \( \pi \le \alpha \le \frac{3\pi}{2} \).
В третьей четверти синус отрицателен, тангенс положителен, котангенс положителен.
1. Найдем \( \sin \alpha \). Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
\[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \]
\[ \sin^2 \alpha = 1 - (-0,6)^2 \]
\[ \sin^2 \alpha = 1 - 0,36 \]
\[ \sin^2 \alpha = 0,64 \]
\[ \sin \alpha = \pm \sqrt{0,64} \]
\[ \sin \alpha = \pm 0,8 \]
Так как \( \alpha \) в третьей четверти, \( \sin \alpha < 0 \).
\[ \sin \alpha = -0,8 \]
2. Найдем \( \text{tg} \alpha \). Используем формулу: \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
\[ \text{tg} \alpha = \frac{-0,8}{-0,6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]
3. Найдем \( \text{ctg} \alpha \). Используем формулу: \( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} \).
\[ \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} \]
Ответ: \( \sin \alpha = -0,8 \), \( \text{tg} \alpha = \frac{4}{3} \), \( \text{ctg} \alpha = \frac{3}{4} \).
4. Упростите выражение
1. \( (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 + \sin 2\alpha \)
Раскроем скобки:
\[ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \]
Мы знаем, что \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) и \( 2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha \).
Подставим это в выражение:
\[ 1 - \sin 2\alpha + \sin 2\alpha = 1 \]
Ответ: \( 1 \).
2. \( \frac{\cos 40^\circ \cdot \cos 17^\circ + \sin 40^\circ \cdot \sin 17^\circ}{\sin 10^\circ \cdot \cos 13^\circ + \cos 10^\circ \cdot \sin 13^\circ} \)
Используем формулы сложения и вычитания углов:
\( \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \)
\( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)
Числитель: \( \cos 40^\circ \cdot \cos 17^\circ + \sin 40^\circ \cdot \sin 17^\circ = \cos(40^\circ - 17^\circ) = \cos 23^\circ \)
Знаменатель: \( \sin 10^\circ \cdot \cos 13^\circ + \cos 10^\circ \cdot \sin 13^\circ = \sin(10^\circ + 13^\circ) = \sin 23^\circ \)
Тогда выражение равно:
\[ \frac{\cos 23^\circ}{\sin 23^\circ} = \text{ctg} 23^\circ \]
Ответ: \( \text{ctg} 23^\circ \).
5. Доказать тождество
\[ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \cos^2 \alpha \]
Начнем с левой части тождества.
Мы знаем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Из него следует, что \( 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \).
Подставим это в левую часть:
\[ \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 1 \]
Получили \( 1 \). Правая часть тождества равна \( \cos^2 \alpha \).
Тождество \( 1 = \cos^2 \alpha \) верно только в частных случаях (например, когда \( \alpha = 2\pi k \)), но не является тождеством для всех \( \alpha \).
Возможно, в условии опечатка, и правая часть должна быть \( 1 \).
Если правая часть \( 1 \), то тождество доказано:
\[ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 1 \]
Если же правая часть действительно \( \cos^2 \alpha \), то тождество неверно.
Предположим, что в условии опечатка и правая часть должна быть \( 1 \).
Тогда:
Левая часть: \( \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 1 \)
Правая часть: \( 1 \)
Левая часть равна правой части. Тождество доказано (при условии, что \( \cos \alpha \neq 0 \)).
6. Построить график функции
\[ y = 2 \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 2 \]
Построение графика функции \( y = A \sin(Bx + C) + D \) можно выполнить, последовательно применяя преобразования к базовому графику \( y = \sin x \).
1. Базовый график: \( y = \sin x \).
Период \( T = 2\pi \). Амплитуда \( 1 \).
2. Сдвиг по фазе: \( y = \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) \).
График \( y = \sin x \) сдвигается влево на \( \frac{\pi}{6} \).
Начало периода будет в точке \( x + \frac{\pi}{6} = 0 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} \).
3. Изменение амплитуды: \( y = 2 \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) \).
Амплитуда увеличивается в 2 раза, становится \( 2 \). Максимальное значение \( 2 \), минимальное \( -2 \).
4. Вертикальный сдвиг: \( y = 2 \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 2 \).
Весь график опускается вниз на 2 единицы.
Максимальное значение будет \( 2 - 2 = 0 \).
Минимальное значение будет \( -2 - 2 = -4 \).
Средняя линия \( y = -2 \).
Ключевые точки для построения:
Начнем с \( x = -\frac{\pi}{6} \).
При \( x = -\frac{\pi}{6} \): \( y = 2 \sin(0) - 2 = 0 - 2 = -2 \). (Точка \( (-\frac{\pi}{6}, -2) \))
Через четверть периода \( \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \): \( x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \).
При \( x = \frac{\pi}{3} \): \( y = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2 = 2 \cdot 1 - 2 = 0 \). (Точка \( (\frac{\pi}{3}, 0) \))
Через половину периода: \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \).
При \( x = \frac{5\pi}{6} \): \( y = 2 \sin(\pi) - 2 = 2 \cdot 0 - 2 = -2 \). (Точка \( (\frac{5\pi}{6}, -2) \))
Через три четверти периода: \( x = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{2} = \frac{- \pi + 9\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} \).
При \( x = \frac{4\pi}{3} \): \( y = 2 \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) - 2 = 2 \cdot (-1) - 2 = -4 \). (Точка \( (\frac{4\pi}{3}, -4) \))
Через полный период: \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \).
При \( x = \frac{11\pi}{6} \): \( y = 2 \sin(2\pi) - 2 = 2 \cdot 0 - 2 = -2 \). (Точка \( (\frac{11\pi}{6}, -2) \))
График будет выглядеть как синусоида, сдвинутая влево на \( \frac{\pi}{6} \), растянутая по вертикали в 2 раза и опущенная на 2 единицы вниз.
(Здесь должен быть рисунок графика. Поскольку я не могу рисовать, я описал его построение и ключевые точки.)
7. Решите уравнение
1. \( \sin \left(\frac{1}{2}x + \frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
Пусть \( \alpha = \frac{1}{2}x + \frac{3\pi}{4} \). Тогда \( \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
Общее решение для \( \sin \alpha = a \) имеет вид:
\( \alpha = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
или
\( \alpha = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \)
\( \alpha = \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \)
Подставим \( \alpha \):
Случай 1:
\[ \frac{1}{2}x + \frac{3\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \]
\[ \frac{1}{2}x = -\frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \]
\[ \frac{1}{2}x = \frac{-4\pi - 9\pi}{12} + 2\pi n \]
\[ \frac{1}{2}x = -\frac{13\pi}{12} + 2\pi n \]
\[ x = -\frac{13\pi}{6} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Случай 2:
\[ \frac{1}{2}x + \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \]
\[ \frac{1}{2}x = \frac{4\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \]
\[ \frac{1}{2}x = \frac{16\pi - 9\pi}{12} + 2\pi n \]
\[ \frac{1}{2}x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n \]
\[ x = \frac{7\pi}{6} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Ответ: \( x = -\frac{13\pi}{6} + 4\pi n \) или \( x = \frac{7\pi}{6} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
2. \( \cos 3x = 0 \)
Общее решение для \( \cos \alpha = 0 \) имеет вид:
\( \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Подставим \( 3x \):
\[ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n \]
\[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} \).
3. \( \left(\text{tg} x + \frac{\pi}{2}\right) (\text{ctg} x - \sqrt{3}) = 0 \)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Также нужно учесть область определения тангенса и котангенса.
\( \text{tg} x \) определен, когда \( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \).
\( \text{ctg} x \) определен, когда \( x \neq \pi k \).
Значит, \( x \neq \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
Случай 1: \( \text{tg} x + \frac{\pi}{2} = 0 \)
\[ \text{tg} x = -\frac{\pi}{2} \]
Это уравнение имеет решение, так как \( -\frac{\pi}{2} \) - это число.
\[ x = \text{arctg}\left(-\frac{\pi}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Проверим, не попадает ли это решение в точки, где тангенс не определен. \( \text{arctg}\left(-\frac{\pi}{2}\right) \) не равно \( \frac{\pi}{2} + \pi k \), так как \( -\frac{\pi}{2} \approx -1.57 \), а \( \text{arctg}(-1.57) \approx -1 \) радиан.
Случай 2: \( \text{ctg} x - \sqrt{3} = 0 \)
\[ \text{ctg} x = \sqrt{3} \]
Общее решение для \( \text{ctg} x = a \) имеет вид:
\( x = \text{arcctg}(a) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
\[ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Проверим, не попадает ли это решение в точки, где котангенс не определен. \( \frac{\pi}{6} + \pi n \) не равно \( \pi k \).
Ответ: \( x = \text{arctg}\left(-\frac{\pi}{2}\right) + \pi n \) или \( x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
8. Решите уравнение
\[ 2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0 \]
Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \).
Пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:
\[ 2y^2 - 5y + 2 = 0 \]
Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \).
Найдем корни \( y \):
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
\[ y_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]
\[ y_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
Теперь подставим \( \sin x \) обратно:
1. \( \sin x = 2 \)
Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть больше 1.
2. \( \sin x = \frac{1}{2} \)
Общее решение для \( \sin x = a \) имеет вид:
\( x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
\[ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Ответ: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
9. Решить неравенство
\[ 2\cos x + \sqrt{3} \ge 0 \]
Перенесем \( \sqrt{3} \) в правую часть и разделим на 2:
\[ 2\cos x \ge -\sqrt{3} \]
\[ \cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Найдем значения \( x \), при которых \( \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
Это \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \) и \( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \).
На единичной окружности косинус равен абсциссе точки. Нам нужны точки, где абсцисса больше или равна \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
Это интервал от \( -\frac{5\pi}{6} \) до \( \frac{5\pi}{6} \) (в пределах одного периода).
Учитывая периодичность косинуса \( 2\pi \), общее решение будет:
\[ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Ответ: \( -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
