Решение задач С-10. Степень с отрицательным целым показателем

Вот решение задач из учебника, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь.


С-10. Степень с отрицательным целым показателем Вариант 1 1. Вычислите: а) \(5^{-2}\) Решение: По определению степени с отрицательным показателем: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Значит, \(5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}\). Ответ: \(\frac{1}{25}\).
б) \(12 \cdot 3^{-3}\) Решение: Сначала вычислим \(3^{-3}\): \(3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{27}\). Теперь умножим на 12: \(12 \cdot \frac{1}{27} = \frac{12}{27}\). Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: \(\frac{12 \div 3}{27 \div 3} = \frac{4}{9}\). Ответ: \(\frac{4}{9}\).
в) \((27 \cdot 3^{-2})^{-1}\) Решение: Сначала вычислим выражение в скобках. \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\). Тогда \(27 \cdot 3^{-2} = 27 \cdot \frac{1}{9} = \frac{27}{9} = 3\). Теперь возведем полученное число в степень \(-1\): \(3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}\). Ответ: \(\frac{1}{3}\).
г) \(\frac{2^{-3} \cdot 2^2}{2^{-4}}\) Решение: Используем свойства степеней: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) и \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). В числителе: \(2^{-3} \cdot 2^2 = 2^{-3+2} = 2^{-1}\). Теперь выражение принимает вид: \(\frac{2^{-1}}{2^{-4}}\). Применим свойство деления степеней: \(2^{-1 - (-4)} = 2^{-1+4} = 2^3\). Вычислим \(2^3\): \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\). Ответ: \(8\).

2. Упростите выражение и приведите его к виду, не содержащему отрицательных показателей степеней: а) \(x^{-3} \cdot x^5 : x^{-6}\) Решение: Используем свойства степеней: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) и \(a^m : a^n = a^{m-n}\). Сначала умножим: \(x^{-3} \cdot x^5 = x^{-3+5} = x^2\). Теперь разделим: \(x^2 : x^{-6} = x^{2 - (-6)} = x^{2+6} = x^8\). Выражение не содержит отрицательных показателей. Ответ: \(x^8\).
б) \(12y^{-7} : \left(\frac{3}{4}y^{-5}\right)\) Решение: Перепишем деление как дробь или используем правило деления дробей. \(12y^{-7} : \left(\frac{3}{4}y^{-5}\right) = \frac{12y^{-7}}{\frac{3}{4}y^{-5}}\). Разделим числовые коэффициенты и степени переменной \(y\) отдельно. Числовые коэффициенты: \(12 : \frac{3}{4} = 12 \cdot \frac{4}{3} = \frac{12 \cdot 4}{3} = \frac{48}{3} = 16\). Степени переменной \(y\): \(y^{-7} : y^{-5} = y^{-7 - (-5)} = y^{-7+5} = y^{-2}\). Объединяем результаты: \(16y^{-2}\). Теперь приведем выражение к виду, не содержащему отрицательных показателей: \(16y^{-2} = 16 \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{16}{y^2}\). Ответ: \(\frac{16}{y^2}\).