Решение С-10 Вариант 3: Степень с отрицательным целым показателем

Вот решение задач из учебника, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь.


С-10. Степень с отрицательным целым показателем Вариант 3 1. Вычислите: а) \(8^{-2}\) Решение: По определению степени с отрицательным показателем: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Значит, \(8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{8 \cdot 8} = \frac{1}{64}\). Ответ: \(\frac{1}{64}\).
б) \(16 \cdot 2^{-5}\) Решение: Сначала вычислим \(2^{-5}\): \(2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{32}\). Теперь умножим на 16: \(16 \cdot \frac{1}{32} = \frac{16}{32}\). Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 16: \(\frac{16 \div 16}{32 \div 16} = \frac{1}{2}\). Ответ: \(\frac{1}{2}\).
в) \((64 \cdot 4^{-4})^{-2}\) Решение: Сначала вычислим выражение в скобках. \(4^{-4} = \frac{1}{4^4} = \frac{1}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{1}{256}\). Тогда \(64 \cdot 4^{-4} = 64 \cdot \frac{1}{256} = \frac{64}{256}\). Сократим дробь \(\frac{64}{256}\). Заметим, что \(256 = 4 \cdot 64\). Значит, \(\frac{64}{256} = \frac{1}{4}\). Теперь возведем полученное число в степень \(-2\): \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}\). По свойству \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n\): \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{1}\right)^2 = 4^2 = 16\). Ответ: \(16\).
г) \(\frac{7^{-7}}{7^4 \cdot 7^{-9}}\) Решение: Используем свойства степеней: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) и \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). В знаменателе: \(7^4 \cdot 7^{-9} = 7^{4+(-9)} = 7^{4-9} = 7^{-5}\). Теперь выражение принимает вид: \(\frac{7^{-7}}{7^{-5}}\). Применим свойство деления степеней: \(7^{-7 - (-5)} = 7^{-7+5} = 7^{-2}\). Приведем к виду без отрицательных показателей: \(7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}\). Ответ: \(\frac{1}{49}\).

2. Упростите выражение и приведите его к виду, не содержащему отрицательных показателей степеней: а) \(b^3 \cdot (b^{-1})^5 : b^{-4}\) Решение: Используем свойства степеней: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\), \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) и \(a^m : a^n = a^{m-n}\). Сначала возведем в степень: \((b^{-1})^5 = b^{-1 \cdot 5} = b^{-5}\). Теперь выражение выглядит так: \(b^3 \cdot b^{-5} : b^{-4}\). Умножим: \(b^3 \cdot b^{-5} = b^{3+(-5)} = b^{3-5} = b^{-2}\). Теперь разделим: \(b^{-2} : b^{-4} = b^{-2 - (-4)} = b^{-2+4} = b^2\). Выражение не содержит отрицательных показателей. Ответ: \(b^2\).
б) \(18t^{-9} : \left(\frac{4}{9}t^{-8}\right)\) Решение: Перепишем деление как дробь или используем правило деления дробей. \(18t^{-9} : \left(\frac{4}{9}t^{-8}\right) = \frac{18t^{-9}}{\frac{4}{9}t^{-8}}\). Разделим числовые коэффициенты и степени переменной \(t\) отдельно. Числовые коэффициенты: \(18 : \frac{4}{9} = 18 \cdot \frac{9}{4} = \frac{18 \cdot 9}{4} = \frac{162}{4}\). Сократим дробь \(\frac{162}{4}\), разделив числитель и знаменатель на 2: \(\frac{162 \div 2}{4 \div 2} = \frac{81}{2}\). Степени переменной \(t\): \(t^{-9} : t^{-8} = t^{-9 - (-8)} = t^{-9+8} = t^{-1}\). Объединяем результаты: \(\frac{81}{2}t^{-1}\). Теперь приведем выражение к виду, не содержащему отрицательных показателей: \(\frac{81}{2}t^{-1} = \frac{81}{2} \cdot \frac{1}{t^1} = \frac{81}{2t}\). Ответ: \(\frac{81}{2t}\).